共通テスト数学ⅡBC｜式と証明の基本問題12問【PDF・解説つき】

11 数学ⅡBC【解答】

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\({\small (1)}~\)⓪　\((x=y)\)
\({\small (2)}~\)②　\((x=y=0)\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+y^2)-2xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x^2+y^2{\small ~≧~}2xy\) [終]

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また、等号が成立するのは、

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　\(x-y=0\) すなわち \(x=y\) のとき

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\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&x^2+y^2-xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-yx+y^2\end{eqnarray}\)

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\( x \) について、平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x^2-yx+\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,y^2\,}{\,4\,}+y^2
\\[5pt]~~~&=&\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2\end{eqnarray}\)

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ここで、\( \left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0 \) より、

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　\(\left(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}y^2{\small ~≧~}0\)

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よって、\( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) [終]

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また、等号が成立するのは、

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　\(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0\) かつ \(y=0\)

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\(y=0\) を \(x-\displaystyle\frac{\,y\,}{\,2\,}=0\) に代入すると、\(x=0\)

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　すなわち \( x=y=0 \) のとき