数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 02
02｜3次式・6次式の因数分解
02
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(8x^3+1\)
\(~=(\fbox{ア}\,x+1)(\fbox{イ}\,x^2-\fbox{ウ}\,x+1)\)
\({\small (2)}~\)\(27x^3-64\)
\(~=(\fbox{エ}\,x-\fbox{オ})(\fbox{カ}\,x^2+\fbox{キク}\,x+\fbox{ケコ})\)
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(8x^3+1\)
\(~=(\fbox{ア}\,x+1)(\fbox{イ}\,x^2-\fbox{ウ}\,x+1)\)
\({\small (2)}~\)\(27x^3-64\)
\(~=(\fbox{エ}\,x-\fbox{オ})(\fbox{カ}\,x^2+\fbox{キク}\,x+\fbox{ケコ})\)
\({\small (3)}~\)\(x^6-7x^3-8\)
\(=(x+\fbox{サ})(x^2-x+\fbox{シ})(x-\fbox{ス})(x^2+\fbox{セ}\,x+\fbox{ソ})\)
\(=(x+\fbox{サ})(x^2-x+\fbox{シ})(x-\fbox{ス})(x^2+\fbox{セ}\,x+\fbox{ソ})\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
02 数学ⅡBC【解答】
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&8x^3+1
\\[3pt]~~~&=&(2x)^3+1^3
\end{eqnarray}\)
\( a^3+b^3 \) の公式より、\( a=2x~,~b=1 \) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2x+1)\{(2x)^2-2x \cdot 1+1^2\}
\\[3pt]~~~&=&(2x+1)(4x^2-2x+1)\end{eqnarray}\)
\( a^3+b^3 \) の公式より、\( a=3x~,~b=-4 \) として、
\(x^3=a\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-7a-8
\\[3pt]~~~&=&(a+1)(a-8)\end{eqnarray}\)
\(a\) を元に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^3+1)(x^3-8)
\\[3pt]~~~&=&(x^3+1^3)\left\{x^3+(-2)^3\right\}\end{eqnarray}\)
\(a^3+b^3\) の因数分解の公式をそれぞれ用いると、
\({\small (1)}~\)\((2x+1)(4x^2-2x+1)\)
\({\small (2)}~\)\((3x-4)(9x^2+12x+16)\)
\({\small (3)}~\)\((x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4)\)
\({\small (2)}~\)\((3x-4)(9x^2+12x+16)\)
\({\small (3)}~\)\((x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4)\)
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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&8x^3+1
\\[3pt]~~~&=&(2x)^3+1^3
\end{eqnarray}\)
\( a^3+b^3 \) の公式より、\( a=2x~,~b=1 \) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2x+1)\{(2x)^2-2x \cdot 1+1^2\}
\\[3pt]~~~&=&(2x+1)(4x^2-2x+1)\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&27x^3-64
\\[3pt]~~~&=&(3x)^3+(-4)^3
\end{eqnarray}\)
\( a^3+b^3 \) の公式より、\( a=3x~,~b=-4 \) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\{3x+(-4)\}\left\{(3x)^2-3x \cdot (-4)+(-4)^2\right\}
\\[3pt]~~~&=&(3x-4)(9x^2+12x+16)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(3x-4)(9x^2+12x+16)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (3)}~\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^6-7x^3-8\end{eqnarray}\)
\(x^3=a\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-7a-8
\\[3pt]~~~&=&(a+1)(a-8)\end{eqnarray}\)
\(a\) を元に戻すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^3+1)(x^3-8)
\\[3pt]~~~&=&(x^3+1^3)\left\{x^3+(-2)^3\right\}\end{eqnarray}\)
\(a^3+b^3\) の因数分解の公式をそれぞれ用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+1)(x^2-x+1^2)\{x+(-2)\}\left\{x^2-x \cdot (-2)+(-2)^2\right\}
\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&(x+1)(x^2-x+1)(x-2)(x^2+2x+4)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
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