複素数と方程式の問題13〜28です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
13｜虚数単位iと負の数の平方根の計算
13
次の計算をせよ。ただし、\(i\) は虚数単位とする。
\({\small (1)}~\)\((2-3i)-(1+5i)=\fbox{ア}-\fbox{イ}\,i\)
\({\small (2)}~\)\((2-3i)(1+5i)=\fbox{ウエ}+\fbox{オ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}+\fbox{キ}\,i\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,-9\,}+\sqrt{\,-4\,}=\fbox{ケ}\,i\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\,-6\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,-3\,}=\fbox{コサ}\sqrt{\,\fbox{シ}\,}\)
問題13｜詳しい解説はこちら→
次の計算をせよ。ただし、\(i\) は虚数単位とする。
\({\small (1)}~\)\((2-3i)-(1+5i)=\fbox{ア}-\fbox{イ}\,i\)
\({\small (2)}~\)\((2-3i)(1+5i)=\fbox{ウエ}+\fbox{オ}\,i\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}+\fbox{キ}\,i\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
\({\small (4)}~\)\(\sqrt{\,-9\,}+\sqrt{\,-4\,}=\fbox{ケ}\,i\)
\({\small (5)}~\)\(\sqrt{\,-6\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,-3\,}=\fbox{コサ}\sqrt{\,\fbox{シ}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
14｜複素数の相等
14
等式 \((x-y)+(y-4)i=2-3i\) を満たす実数 \(x~,~\)\(y\) の値は \(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
問題14｜詳しい解説はこちら→
等式 \((x-y)+(y-4)i=2-3i\) を満たす実数 \(x~,~\)\(y\) の値は \(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
15｜2乗するとx+yiとなる複素数z
15
\(2\) 乗すると \(3-4i\) となる複素数 \(z=a+bi\)（\(a~,~\)\(b\) は実数）について、
\((a~,~b)=(\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})\)
であるから、\(z=\fbox{キ}-i~,~\)\(\fbox{クケ}+i\) である。
問題15｜詳しい解説はこちら→
\(2\) 乗すると \(3-4i\) となる複素数 \(z=a+bi\)（\(a~,~\)\(b\) は実数）について、
\((a~,~b)=(\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})\)
であるから、\(z=\fbox{キ}-i~,~\)\(\fbox{クケ}+i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
16｜複素数範囲の2次方程式の解
16
次の2次方程式を解け。
\({\small (1)}~\)\(x^2+4=0\) の解は、\(x=\pm\fbox{ア}\,i\)
\({\small (2)}~\)\(x^2+x+1=0\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{イウ}\pm\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,i\,}{\,\fbox{オ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(4x^2-4x+3=0\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\pm\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\,i\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
問題16｜詳しい解説はこちら→
次の2次方程式を解け。
\({\small (1)}~\)\(x^2+4=0\) の解は、\(x=\pm\fbox{ア}\,i\)
\({\small (2)}~\)\(x^2+x+1=0\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{イウ}\pm\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,i\,}{\,\fbox{オ}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(4x^2-4x+3=0\) の解は、
\(x=\displaystyle \frac{\,\fbox{カ}\pm\sqrt{\,\fbox{キ}\,}\,i\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
17｜複素数範囲の文字係数の2次方程式
17
\(m\) を定数とする2次方程式 \(x^2+mx+m=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D=m^2-\fbox{ア}\,m\) である。
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解をもつとき、
\(m\lt\fbox{イ}~,~\)\(\fbox{ウ}\lt m\)
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解をもつとき、
\(\fbox{エ}\lt m\lt\fbox{オ}\)
\({\small (3)}~\)重解をもつとき、
\(m=\fbox{カ}\) のとき、重解は \(x=\fbox{キ}\)
\(m=\fbox{ク}\) のとき、重解は \(x=\fbox{ケコ}\)
問題17｜詳しい解説はこちら→
\(m\) を定数とする2次方程式 \(x^2+mx+m=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D=m^2-\fbox{ア}\,m\) である。
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解をもつとき、
\(m\lt\fbox{イ}~,~\)\(\fbox{ウ}\lt m\)
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解をもつとき、
\(\fbox{エ}\lt m\lt\fbox{オ}\)
\({\small (3)}~\)重解をもつとき、
\(m=\fbox{カ}\) のとき、重解は \(x=\fbox{キ}\)
\(m=\fbox{ク}\) のとき、重解は \(x=\fbox{ケコ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
18｜解と係数の関係と対称式の値
18
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、
\(\alpha^2+\beta^2=\fbox{アイ}~,~\)\(\alpha^3+\beta^3=\fbox{ウエオ}\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
問題18｜詳しい解説はこちら→
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、
\(\alpha^2+\beta^2=\fbox{アイ}~,~\)\(\alpha^3+\beta^3=\fbox{ウエオ}\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
19｜2次方程式の2つの解の条件
19
2次方程式 \(x^2+mx+18=0\) の2つの解のうち、1つの解が他の解の \(2\) 倍であるとき、実数の定数 \(m\) の値と2つの解は、
\(m=\fbox{アイ}\) のとき、解は \(x=\fbox{ウ}~,~\)\(\fbox{エ}\)
\(m=\fbox{オ}\) のとき、解は \(x=\fbox{カキ}~,~\)\(\fbox{クケ}\)
問題19｜詳しい解説はこちら→
2次方程式 \(x^2+mx+18=0\) の2つの解のうち、1つの解が他の解の \(2\) 倍であるとき、実数の定数 \(m\) の値と2つの解は、
\(m=\fbox{アイ}\) のとき、解は \(x=\fbox{ウ}~,~\)\(\fbox{エ}\)
\(m=\fbox{オ}\) のとき、解は \(x=\fbox{カキ}~,~\)\(\fbox{クケ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
20｜因数分解と数の範囲
20
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)4次式 \(x^4-9\) を因数分解すると、
有理数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
実数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
複素数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
選択肢：
\({\small (2)}~\)2次式 \(2x^2-x+1\) を複素数の範囲で因数分解すると、
問題20｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)4次式 \(x^4-9\) を因数分解すると、
有理数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
実数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
複素数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
選択肢：
⓪ \((x^2+3)(x^2-3)\)
① \((x^2+3)(x+3)(x-3)\)
② \((x^2+3)(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\)
③ \((x^2-3)(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
④ \((x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
⑤ \((x+3)(x-3)(x+3i)(x-3i)\)
① \((x^2+3)(x+3)(x-3)\)
② \((x^2+3)(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\)
③ \((x^2-3)(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
④ \((x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
⑤ \((x+3)(x-3)(x+3i)(x-3i)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)2次式 \(2x^2-x+1\) を複素数の範囲で因数分解すると、
\(\fbox{エ}\left(x-\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}+\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}-\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\,}{\,\fbox{コ}\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
21｜和と積の値と2数
21
和が \(4\)、積が \(12\) である2数は、2次方程式 \(x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イウ}=0\) の解であるから、
\(\fbox{エ}+\fbox{オ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\) と \(\fbox{キ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\) となる。
問題21｜詳しい解説はこちら→
和が \(4\)、積が \(12\) である2数は、2次方程式 \(x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イウ}=0\) の解であるから、
\(\fbox{エ}+\fbox{オ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\) と \(\fbox{キ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
22｜対称式と2数を解とする2次方程式
22
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、解と係数の関係より
\(\alpha+\beta=\fbox{ア}~,~\)\(\alpha\beta=\fbox{イ}\)
であるから、\(\alpha+1~,~\)\(\beta+1\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-\fbox{ウ}\,x+\fbox{エ}=0\) となる。
問題22｜詳しい解説はこちら→
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、解と係数の関係より
\(\alpha+\beta=\fbox{ア}~,~\)\(\alpha\beta=\fbox{イ}\)
であるから、\(\alpha+1~,~\)\(\beta+1\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-\fbox{ウ}\,x+\fbox{エ}=0\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
23｜剰余の定理と余りの値
23
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \(P(x)=x^3-3x^2+5x+1\) を \(x-1\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(P(x)=x^3+ax^2-1\) を \(x+2\) で割ったときの余りが \(3\) であるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{イ}\) である。
問題23｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \(P(x)=x^3-3x^2+5x+1\) を \(x-1\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(P(x)=x^3+ax^2-1\) を \(x+2\) で割ったときの余りが \(3\) であるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
24｜因数定理と文字係数
24
整式 \(P(x)=2x^3+ax^2+x-1\) が \(x+1\) で割り切れるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{ア}\) であり、
\(P(x)=(x+1)(\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x-\fbox{エ})\) と因数分解できる。
問題24｜詳しい解説はこちら→
整式 \(P(x)=2x^3+ax^2+x-1\) が \(x+1\) で割り切れるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{ア}\) であり、
\(P(x)=(x+1)(\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x-\fbox{エ})\) と因数分解できる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
25｜剰余の定理と余りの式
25
整式 \(P(x)\) を \(x+1\) で割ると余りが \(1\) 、\(x-2\) で割ると余りが \(7\) である。
このとき、\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) である。
問題25｜詳しい解説はこちら→
整式 \(P(x)\) を \(x+1\) で割ると余りが \(1\) 、\(x-2\) で割ると余りが \(7\) である。
このとき、\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) である。
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26｜高次方程式の解
26
次の方程式を解け。
\({\small (1)}~\)\(x^3=8\) の解は \(x=\fbox{ア}~,~\)\(\fbox{イウ}\pm\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,i\)
\({\small (2)}~\)\(x^3-7x-6=0\) の解は、
\(x=\fbox{オカ}~,~\)\(\fbox{キク}~,~\)\(\fbox{ケ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^4+x^2-12=0\) について、
\(x^2=t\) とおくと \(t=\fbox{コサ}~,~\)\(\fbox{シ}\)
よって、\(x\) の解は \(x=\pm\sqrt{\,\fbox{ス}\,}~,~\)\(\pm\fbox{セ}\,i\)
問題26｜詳しい解説はこちら→
次の方程式を解け。
\({\small (1)}~\)\(x^3=8\) の解は \(x=\fbox{ア}~,~\)\(\fbox{イウ}\pm\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,i\)
\({\small (2)}~\)\(x^3-7x-6=0\) の解は、
\(x=\fbox{オカ}~,~\)\(\fbox{キク}~,~\)\(\fbox{ケ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^4+x^2-12=0\) について、
\(x^2=t\) とおくと \(t=\fbox{コサ}~,~\)\(\fbox{シ}\)
よって、\(x\) の解は \(x=\pm\sqrt{\,\fbox{ス}\,}~,~\)\(\pm\fbox{セ}\,i\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
27｜1の3乗根ωを用いた式の値
27
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とする。次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\omega^3-1=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(\omega^2+\omega=\fbox{イウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\omega^5+\omega^4+1=\fbox{エ}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}=\fbox{オカ}\)
問題27｜詳しい解説はこちら→
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とする。次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\omega^3-1=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(\omega^2+\omega=\fbox{イウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\omega^5+\omega^4+1=\fbox{エ}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}=\fbox{オカ}\)
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28｜3次方程式の1つの虚数解と係数
28
\(a~,~\)\(b\) を実数の定数として、
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(1-2i\) であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}\) であり、
この方程式の他の解は \(\fbox{エ}+\fbox{オ}\,i~,~\)\(\fbox{カ}\) である。
問題28｜詳しい解説はこちら→
\(a~,~\)\(b\) を実数の定数として、
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(1-2i\) であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}\) であり、
この方程式の他の解は \(\fbox{エ}+\fbox{オ}\,i~,~\)\(\fbox{カ}\) である。
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