数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 28
28｜3次方程式の1つの虚数解と係数
28
\(a~,~\)\(b\) を実数の定数として、
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(1-2i\) であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}\) であり、
この方程式の他の解は \(\fbox{エ}+\fbox{オ}\,i~,~\)\(\fbox{カ}\) である。
\(a~,~\)\(b\) を実数の定数として、
3次方程式 \(x^3-3x^2+ax+b=0\) の解の1つが \(1-2i\) であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イウ}\) であり、
この方程式の他の解は \(\fbox{エ}+\fbox{オ}\,i~,~\)\(\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
28 数学IIBC【解答】
\(a=7~,~b=-5\)
他の解は \(1+2i~,~1\)
【より詳しい解説】
\(P(x)=x^3-3x^2+ax+b\) とおくと、
\(P(x)=0\) が虚数解 \(1-2i\) をもつので、その共役複素数 \(1+2i\) も解にもつ
これより、この2数の和と積は、
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)+(1+2i)&=&1+1-2i+2i
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(1-2i)(1+2i)&=&1-4i^2
\\[3pt]~~~&=&1+4
\\[3pt]~~~&=&5
\end{eqnarray}\)
解と係数の関係より、2次式 \(x^2-2x+5\) が \(P(x)\) の因数となる
また、他の解を \(c\) とすると、\(x-c\) も因数にもつので、
\(x^3-3x^2+ax+b=(x^2-2x+5)(x-c)\)
右辺を展開すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(x^2-2x+5)(x-c)
\\[3pt]~~~&=&x^3-cx^2-2x^2+2cx+5x-5c
\\[3pt]~~~&=&x^3-(c+2)x^2+(2c+5)x-5c\end{eqnarray}\)
両辺の係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{ll}-3=-(c+2)&~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\a=2c+5&~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\\b=-5c&~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-3&=&-(c+2)
\\[3pt]~~~3&=&c+2
\\[3pt]~~~c&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&2\cdot 1+5
\\[3pt]~~~&=&7\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&-5\cdot 1
\\[3pt]~~~&=&-5\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a=7~,~b=-5\)、他の解 \(1+2i~,~1\) となる
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