共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式の基本問題16問【PDF・解説つき】

13 数学IIBC【解答】

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\({\small (1)}~\)\(1-8i\)　　　\({\small (2)}~\)\(17+7i\)

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\({\small (3)}~\)\(\displaystyle \frac{\,3+4i\,}{\,5\,}\)　　　\({\small (4)}~\)\(5i\)

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\({\small (5)}~\)\(-3\sqrt{2}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)文字式と同様に計算できるので、実部と虚部をそれぞれ計算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(2-3i)-(1+5i)
\\[3pt]~~~&=&2-3i-1-5i
\\[3pt]~~~&=&(2-1)+(-3-5)i
\\[3pt]~~~&=&1-8i\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)文字式の展開と同様に計算し、\(i^2=-1\) と簡単にすると、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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\({\small (3)}~\)分母分子に分母の \(2-i\) の共役な複素数 \(2+i\) を掛けると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2-i\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2+i\,}{\,2+i\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(2+i)(2+i)\,}{\,(2-i)(2+i)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i+i^2\,}{\,4-i^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4+4i-1\,}{\,4-(-1)\,}\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3+4i\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small (4)}~\)負の数の平方根を虚数単位 \(i\) で表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,-9\,}+\sqrt{\,-4\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9\,}\,i+\sqrt{\,4\,}\,i
\\[3pt]~~~&=&3i+2i
\\[3pt]~~~&=&5i\end{eqnarray}\)

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\({\small (5)}~\)負の数の平方根を虚数単位 \(i\) で表すと、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{\,-6\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,-3\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,6\,}\,i{\, \small \times \,}\sqrt{\,3\,}\,i
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,6{\, \small \times \,}3\,}{\, \small \times \,}i^2
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,18\,}{\, \small \times \,}(-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&-\sqrt{\,3^2{\, \small \times \,}2\,}
\\[3pt]~~~&=&-3\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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※ \(\sqrt{\,(-6){\, \small \times \,}(-3)\,}=\sqrt{\,18\,}\) としないように注意する。