数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 21
21｜和と積の値と2数
21
和が \(4\)、積が \(12\) である2数は、2次方程式 \(x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イウ}=0\) の解であるから、
\(\fbox{エ}+\fbox{オ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\) と \(\fbox{キ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\) となる。
和が \(4\)、積が \(12\) である2数は、2次方程式 \(x^2-\fbox{ア}\,x+\fbox{イウ}=0\) の解であるから、
\(\fbox{エ}+\fbox{オ}\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\) と \(\fbox{キ}-\fbox{ク}\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
21 数学IIBC【解答】
\(x^2-4x+12=0\)
\(2+2\sqrt{\,2\,}\,i\) と \(2-2\sqrt{\,2\,}\,i\)
【より詳しい解説】
この2数を \(\alpha~,~\beta\) とおくと、和が \(4\)、積が \(12\) であるので、
\(\alpha+\beta=4~,~\alpha\beta=12\)
よって、解と係数の関係より、2数 \(\alpha~,~\beta\) は、2次方程式 \(x^2-4x+12=0\) の解となる
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot (-2)x+12=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-2) \pm \sqrt{\,(-2)^2-1 \cdot 12\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{\,4-12\,}
\\[3pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{\,-8\,}
\\[3pt]~~~&=&2 \pm \sqrt{\,8\,}\,i
\\[3pt]~~~&=&2 \pm 2\sqrt{\,2\,}\,i\end{eqnarray}\)
したがって、求める2数は、
\(2+2\sqrt{\,2\,}\,i~,~2-2\sqrt{\,2\,}\,i\)
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