数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 24
24｜因数定理と文字係数
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整式 \(P(x)=2x^3+ax^2+x-1\) が \(x+1\) で割り切れるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{ア}\) であり、
\(P(x)=(x+1)(\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x-\fbox{エ})\) と因数分解できる。
整式 \(P(x)=2x^3+ax^2+x-1\) が \(x+1\) で割り切れるとき、実数の定数 \(a\) の値は、\(a=\fbox{ア}\) であり、
\(P(x)=(x+1)(\fbox{イ}\,x^2+\fbox{ウ}\,x-\fbox{エ})\) と因数分解できる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
24 数学IIBC【解答】
\(a=4\)
\(P(x)=(x+1)(2x^2+2x-1)\)
【より詳しい解説】
\( P(x) \) が \( x+1 \) で割り切れるので、\( x+1 \) は \( P(x) \) の因数となり、
\( P(-1)=0 \)
これより、\( x=-1 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(-1)^3+a(-1)^2+(-1)-1&=&0
\\[3pt]~~~-2+a-1-1&=&0
\\[3pt]~~~a-4&=&0
\\[3pt]~~~a&=&4\end{eqnarray}\)
よって、\( a=4 \) となる
\( a=4 \) より、\( P(x)=2x^3+4x^2+x-1 \) を \( x+1 \) で割ると、
\(\begin{array}{rr}2x^2+2x-1\hspace{30pt}\\x+1~)~\overline{2x^3+4x^2+x-1}~~
\\[2pt]\underline{-~)~2x^3+2x^2\phantom{+x-1}}~~~\,
\\[2pt]2x^2+x-1~~
\\[2pt]\underline{-~)~2x^2+2x\phantom{-1}}~\,
\\[2pt]-x-1
\\[2pt]\underline{-~)~-x-1}
\\[2pt]0\end{array}\)
商が \( 2x^2+2x-1 \) より、\( P(x) \) を因数分解すると、
\( P(x)=(x+1)(2x^2+2x-1) \)
したがって、\( a=4 \)、\( P(x)=(x+1)(2x^2+2x-1) \) となる
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