数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 18
18｜解と係数の関係と対称式の値
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、
\(\alpha^2+\beta^2=\fbox{アイ}~,~\)\(\alpha^3+\beta^3=\fbox{ウエオ}\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=\displaystyle \frac{\,\fbox{カキ}\,}{\,\fbox{ク}\,}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
18 数学IIBC【解答】
\(\alpha^2+\beta^2=-2\)
\(\alpha^3+\beta^3=-10\)
\(\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
【より詳しい解説】
2次方程式の解と係数の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,1\,}=2
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}=3\end{array}\right.~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^2+\beta^2
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta
\\[3pt]~~~&=&2^2-2\cdot 3\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4-6
\\[3pt]~~~&=&-2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\alpha^3+\beta^3
\\[3pt]~~~&=&(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)
\\[3pt]~~~&=&2^3-3\cdot 3\cdot 2\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&8-18
\\[3pt]~~~&=&-10\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\beta\,}{\,\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\alpha^2+\beta^2\,}{\,\alpha\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\,}{\,\alpha\beta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2^2-2\cdot 3\,}{\,3\,}\hspace{15pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4-6\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
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