数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 17
17｜複素数範囲の文字係数の2次方程式
17
\(m\) を定数とする2次方程式 \(x^2+mx+m=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D=m^2-\fbox{ア}\,m\) である。
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解をもつとき、
\(m\lt\fbox{イ}~,~\)\(\fbox{ウ}\lt m\)
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解をもつとき、
\(\fbox{エ}\lt m\lt\fbox{オ}\)
\({\small (3)}~\)重解をもつとき、
\(m=\fbox{カ}\) のとき、重解は \(x=\fbox{キ}\)
\(m=\fbox{ク}\) のとき、重解は \(x=\fbox{ケコ}\)
\(m\) を定数とする2次方程式 \(x^2+mx+m=0\) の判別式を \(D\) とすると、\(D=m^2-\fbox{ア}\,m\) である。
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解をもつとき、
\(m\lt\fbox{イ}~,~\)\(\fbox{ウ}\lt m\)
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解をもつとき、
\(\fbox{エ}\lt m\lt\fbox{オ}\)
\({\small (3)}~\)重解をもつとき、
\(m=\fbox{カ}\) のとき、重解は \(x=\fbox{キ}\)
\(m=\fbox{ク}\) のとき、重解は \(x=\fbox{ケコ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
17 数学IIBC【解答】
\(D=m^2-4m\)
\({\small (1)}~\)\(m\lt 0~,~4\lt m\)
\({\small (2)}~\)\(0\lt m\lt 4\)
\({\small (3)}~\)\(m=0\) のとき、重解は \(x=0\)
\(\hspace{13pt}\)\(m=4\) のとき、重解は \(x=-2\)
【より詳しい解説】
複素数範囲で、\(x^2+mx+m=0\) の判別式を \(D\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~D&=&m^2-4 \cdot 1 \cdot m
\\[3pt]~~~&=&m^2-4m\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}~\)異なる2つの実数解をもつ条件は \(D\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4m&\gt&0
\\[3pt]~~~m(m-4)&\gt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(m\lt 0~,~4\lt m\) となる
\({\small (2)}~\)異なる2つの虚数解をもつ条件は \(D\lt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4m&\lt&0
\\[3pt]~~~m(m-4)&\lt&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(0\lt m\lt 4\) となる
\({\small (3)}~\)重解をもつ条件は \(D=0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~m^2-4m&=&0
\\[3pt]~~~m(m-4)&=&0
\\[3pt]~~~m&=&0~,~4\end{eqnarray}\)
\(m=0\) のとき、2次方程式は、
\(x^2=0\) より、重解は \(x=0\)
\(m=4\) のとき、2次方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+4x+4&=&0
\\[3pt]~~~(x+2)^2&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
よって、重解は \(x=-2\) となる
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