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25｜剰余の定理と余りの式
25
整式 \(P(x)\) を \(x+1\) で割ると余りが \(1\) 、\(x-2\) で割ると余りが \(7\) である。
このとき、\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) である。
整式 \(P(x)\) を \(x+1\) で割ると余りが \(1\) 、\(x-2\) で割ると余りが \(7\) である。
このとき、\(P(x)\) を \((x+1)(x-2)\) で割ったときの余りは \(\fbox{ア}\,x+\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
25 数学IIBC【解答】
\(2x+3\)
【より詳しい解説】
\( P(x) \) を \( x+1 \) で割ると余りが \( 1 \) より、
\(P(x)=(x+1)Q_1(x)+1\) となり、\(x=-1\) を代入する。
\( P(-1)=1 ~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\( P(x) \) を \( x-2 \) で割ると余りが \( 7 \) より、
\(P(x)=(x-2)Q_2(x)+7\) となり、\(x=2\) を代入する。
\( P(2)=7 ~~~\cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( P(x) \) を \( (x+1)(x-2) \) で割った商を \( Q(x) \)、余りを \( ax+b \) とすると、
※ 2次式 \( (x+1)(x-2) \) で割っているので、余りは1次式以下 \( ax+b \) となる。
\( P(x)=(x+1)(x-2)Q(x)+ax+b ~~~\cdots {\small [\,3\,]}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,1\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=-1 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)=(-1+1)(-1-2) \cdot Q(-1)+a \cdot (-1)+b&=&1
\\[3pt]~~~0\cdot (-3)\cdot Q(-1)-a+b&=&1
\\[3pt]~~~-a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~0\cdot (-3)\cdot Q(-1)-a+b&=&1
\\[3pt]~~~-a+b&=&1~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,2\,]}\) より、\({\small [\,3\,]}\) に \( x=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~P(2)=(2+1)(2-2) \cdot Q(2)+a \cdot 2+b&=&7
\\[3pt]~~~3\cdot 0\cdot Q(2)+2a+b&=&7
\\[3pt]~~~2a+b&=&7~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~3\cdot 0\cdot Q(2)+2a+b&=&7
\\[3pt]~~~2a+b&=&7~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small [\,4\,]}\)－\({\small [\,5\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
-a+b&=&1\\~~
-\big{)}~~2a+b&=&7\\
\hline -3a&=&-6
\\[3pt] a&=&2\end{eqnarray}\)
\(a=2\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2+b&=&1
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、余りは \( 2x+3 \) となる
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