数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 27
27｜1の3乗根ωを用いた式の値
27
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とする。次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\omega^3-1=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(\omega^2+\omega=\fbox{イウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\omega^5+\omega^4+1=\fbox{エ}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}=\fbox{オカ}\)
\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とする。次の式の値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\omega^3-1=\fbox{ア}\) \({\small (2)}~\)\(\omega^2+\omega=\fbox{イウ}\)
\({\small (3)}~\)\(\omega^5+\omega^4+1=\fbox{エ}\)
\({\small (4)}~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}=\fbox{オカ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
27 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(0\)
\({\small (2)}~\)\(-1\)
\({\small (3)}~\)\(0\)
\({\small (4)}~\)\(-1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(1\) の3乗根のうち、虚数であるものの1つを \(\omega\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\omega^3=1~~~\cdots {\small [\,1\,]} \\ \omega^2+\omega+1=0~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
が成り立つ
\(\begin{eqnarray}~~~&&\omega^3-1
\\[3pt]~~~&=&1-1\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2+\omega+1&=&0
\\[3pt]~~~\omega^2+\omega&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(\begin{eqnarray}~~~&&\omega^5+\omega^4+1
\\[3pt]~~~&=&\omega^3 \cdot \omega^2+\omega^3 \cdot \omega+1
\\[3pt]~~~&=&1 \cdot \omega^2+1 \cdot \omega+1\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&\omega^2+\omega+1
\\[3pt]~~~&=&0\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,2\,]}\,)\end{eqnarray}\)
\({\small (4)}~\)\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\omega^2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\omega+1\,}{\,\omega^2\,}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、\(\omega+1=-\omega^2\) と代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\omega^2\,}{\,\omega^2\,}
\\[5pt]~~~&=&-1\end{eqnarray}\)
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