数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 26
26｜高次方程式の解
次の方程式を解け。
\({\small (1)}~\)\(x^3=8\) の解は \(x=\fbox{ア}~,~\)\(\fbox{イウ}\pm\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\,i\)
\({\small (2)}~\)\(x^3-7x-6=0\) の解は、
\(x=\fbox{オカ}~,~\)\(\fbox{キク}~,~\)\(\fbox{ケ}\)
\({\small (3)}~\)\(x^4+x^2-12=0\) について、
\(x^2=t\) とおくと \(t=\fbox{コサ}~,~\)\(\fbox{シ}\)
よって、\(x\) の解は \(x=\pm\sqrt{\,\fbox{ス}\,}~,~\)\(\pm\fbox{セ}\,i\)
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
26 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(x=2~,~{-1\pm\sqrt{3}\,i}\)
\({\small (2)}~\)\(x=-1~,~{-2}~,~3\)
\({\small (3)}~\)\(t=-4~,~3\) \(x=\pm\sqrt{3}~,~{\pm2i}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)右辺を移項して、\(a^3-b^3\) の因数分解を使うと、
\(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(\begin{eqnarray}~~~x^3-8&=&0
\\[3pt]~~~x^3-2^3&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x^2+2 \cdot x+2^2)&=&0
\\[3pt]~~~(x-2)(x^2+2x+4)&=&0\end{eqnarray}\)
\(x-2=0\) または \(x^2+2x+4=0\)
\(x-2=0\) のとき、
\(x=2\)
\(x^2+2x+4=0\) の解は、
\(x\) の係数が偶数で、
\(x^2+2 \cdot 1 \cdot x+4=0\) とできるので、
\(x=\displaystyle\frac{\,-b^{\prime}\pm\sqrt{{b^{\prime}}^2-ac}\,}{\,a\,}\)
を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1 \pm \sqrt{\,1^2-1 \cdot 4\,}\,}{\,1\,}
\\[5pt]~~~&=&-1 \pm \sqrt{\,1-4\,}
\\[3pt]~~~&=&-1 \pm \sqrt{\,-3\,}
\\[3pt]~~~&=&-1 \pm \sqrt{\,3\,}\,i\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=2~,~{-1 \pm \sqrt{\,3\,}\,i}\) となる
\({\small (2)}~\)\(P(x)=x^3-7x-6\) とおくと、
定数項が \(-6\) より、その約数 \(\pm 1~,~{\pm 2}~,~{\pm 3}\) で \(P(x)=0\) となる可能性がある。
\(\begin{eqnarray}~~~P(1)&=&1^3-7\cdot 1-6
\\[3pt]~~~&=&-12\neq 0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~P(-1)&=&(-1)^3-7(-1)-6
\\[3pt]~~~&=&-1+7-6
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\(P(x)\) は \(x+1\) を因数にもつ
\(P(x)\) を \(x+1\) で割ると、
\(\begin{array}{rr}x^2-x-6\hspace{30pt}\\x+1~)~\overline{x^3\phantom{+x^2}-7x-6}~~
\\[2pt]\underline{-~)~x^3+x^2\phantom{-7x-6}}~~
\\[2pt]-x^2-7x-6
\\[2pt]\underline{-~)~-x^2-x\phantom{-6}}~~~
\\[2pt]-6x-6
\\[2pt]\underline{-~)~-6x-6}
\\[2pt]0\end{array}\)
商が \(x^2-x-6\) より、\(P(x)\) を因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x^2-x-6)\)
かっこの中をさらに因数分解すると、
\(P(x)=(x+1)(x+2)(x-3)\)
よって、\(P(x)=0\) の解は、
\(x=-1~,~{-2}~,~3\)
\({\small (3)}~\)\(x^2=t\) とおくと、\(x^4=t^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~t^2+t-12&=&0
\\[3pt]~~~(t+4)(t-3)&=&0\end{eqnarray}\)
\(t+4=0\) または \(t-3=0\)
\(t+4=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&-4
\\[3pt]~~~x^2+4&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~x^2&=&-4
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{\,-4\,}
\\[3pt]~~~x&=&\pm 2i\end{eqnarray}\)
\(t-3=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~t&=&3
\\[3pt]~~~x^2-3&=&0\hspace{15pt}(\,∵~t=x^2\,)
\\[3pt]~~~x^2&=&3
\\[3pt]~~~x&=&\pm\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x=\pm\sqrt{3}~,~{\pm 2i}\) となる
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