数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 22
22｜対称式と2数を解とする2次方程式
22
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、解と係数の関係より
\(\alpha+\beta=\fbox{ア}~,~\)\(\alpha\beta=\fbox{イ}\)
であるから、\(\alpha+1~,~\)\(\beta+1\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-\fbox{ウ}\,x+\fbox{エ}=0\) となる。
2次方程式 \(x^2-2x+3=0\) の2つの解を \(\alpha~,~\)\(\beta\) とするとき、解と係数の関係より
\(\alpha+\beta=\fbox{ア}~,~\)\(\alpha\beta=\fbox{イ}\)
であるから、\(\alpha+1~,~\)\(\beta+1\) を解とする2次方程式の1つは
\(x^2-\fbox{ウ}\,x+\fbox{エ}=0\) となる。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
22 数学IIBC【解答】
\(\alpha+\beta=2~,~\alpha\beta=3\)
\(x^2-4x+6=0\)
【より詳しい解説】
\(x^2-2x+3=0\) の解と係数の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}\alpha+\beta=-\displaystyle \frac{\,-2\,}{\,1\,}=2~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\[5pt]\alpha\beta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,1\,}=3~~~\hspace{28pt}\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
ここで、2数 \(\alpha+1~,~\beta+1\) の和と積を求めると、
\(\begin{eqnarray}~~~\alpha+1+\beta+1&=&(\alpha+\beta)+2
\\[3pt]~~~&=&2+2\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~(\alpha+1)(\beta+1)&=&\alpha\beta+\alpha+\beta+1
\\[3pt]~~~&=&3+2+1\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&3+2+1\hspace{15pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\,)
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(\alpha+1~,~\beta+1\) を解とする2次方程式の1つは、
\(x^2-4x+6=0\) となる
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