数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 20
20｜因数分解と数の範囲
20
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)4次式 \(x^4-9\) を因数分解すると、
有理数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
実数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
複素数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
選択肢：
\({\small (2)}~\)2次式 \(2x^2-x+1\) を複素数の範囲で因数分解すると、
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)4次式 \(x^4-9\) を因数分解すると、
有理数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\)
実数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\)
複素数の範囲では \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\)
選択肢：
⓪ \((x^2+3)(x^2-3)\)
① \((x^2+3)(x+3)(x-3)\)
② \((x^2+3)(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\)
③ \((x^2-3)(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
④ \((x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
⑤ \((x+3)(x-3)(x+3i)(x-3i)\)
① \((x^2+3)(x+3)(x-3)\)
② \((x^2+3)(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\)
③ \((x^2-3)(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
④ \((x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\)
⑤ \((x+3)(x-3)(x+3i)(x-3i)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\({\small (2)}~\)2次式 \(2x^2-x+1\) を複素数の範囲で因数分解すると、
\(\fbox{エ}\left(x-\displaystyle \frac{\,\fbox{オ}+\sqrt{\,\fbox{カ}\,}\,i\,}{\,\fbox{キ}\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,\fbox{ク}-\sqrt{\,\fbox{ケ}\,}\,i\,}{\,\fbox{コ}\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
20 数学IIBC【解答】
\({\small (1)}~\)ア ⓪ イ ② ウ ④
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)まず、有理数の範囲で因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-3^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x^2-3)\end{eqnarray}\)
\(x^2+3\) も \(x^2-3\) も、有理数の範囲ではこれ以上分解できないので、ア は ⓪
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-3
\\[3pt]~~~&=&x^2-(\sqrt{\,3\,})^2
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\end{eqnarray}\)
\(x^2+3\) は実数の範囲では分解できないので、イ は ②
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+3
\\[3pt]~~~&=&x^2-3i^2\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&x^2-(\sqrt{\,3\,}\,i)^2
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\end{eqnarray}\)
よって、ウ は ④
※ 数の範囲が広がるほど、因数分解は細かくできる。
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1\,}\,}{\,2\cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,1-8\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,-7\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、2次式 \( 2x^2-x+1 \) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2-x+1
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) の係数の \(2\) を忘れないように。
\({\small (1)}~\)ア ⓪ イ ② ウ ④
\({\small (2)}~2\left(x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\right)\)
※ 数式は横にスクロールできます。
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)まず、有理数の範囲で因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^4-9
\\[3pt]~~~&=&(x^2)^2-3^2
\\[3pt]~~~&=&(x^2+3)(x^2-3)\end{eqnarray}\)
\(x^2+3\) も \(x^2-3\) も、有理数の範囲ではこれ以上分解できないので、ア は ⓪
実数の範囲では、\(3=(\sqrt{\,3\,})^2\) とみて \(x^2-3\) がさらに分解できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2-3
\\[3pt]~~~&=&x^2-(\sqrt{\,3\,})^2
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{\,3\,})(x-\sqrt{\,3\,})\end{eqnarray}\)
\(x^2+3\) は実数の範囲では分解できないので、イ は ②
複素数の範囲では、\(3=-3i^2\) とみて \(x^2+3\) も分解できるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&x^2+3
\\[3pt]~~~&=&x^2-3i^2\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&x^2-(\sqrt{\,3\,}\,i)^2
\\[3pt]~~~&=&(x+\sqrt{\,3\,}\,i)(x-\sqrt{\,3\,}\,i)\end{eqnarray}\)
よって、ウ は ④
※ 数の範囲が広がるほど、因数分解は細かくできる。
\({\small (2)}~\)2次方程式 \( 2x^2-x+1=0 \) の解は、解の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-(-1)\pm\sqrt{\,(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1\,}\,}{\,2\cdot 2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,1-8\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,-7\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
これより、2次式 \( 2x^2-x+1 \) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2x^2-x+1
\\[5pt]~~~&=&2\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\left(\,x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{\,7\,}\,i\,}{\,4\,}\,\right)\end{eqnarray}\)
※ \(x^2\) の係数の \(2\) を忘れないように。
複素数と方程式｜問題一覧はこちら→
