数学Ⅱ｜複素数と方程式｜問題一覧 ＞ 問題解説 15
15｜2乗するとx+yiとなる複素数z
15
\(2\) 乗すると \(3-4i\) となる複素数 \(z=a+bi\)（\(a~,~\)\(b\) は実数）について、
\((a~,~b)=(\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})\)
であるから、\(z=\fbox{キ}-i~,~\)\(\fbox{クケ}+i\) である。
\(2\) 乗すると \(3-4i\) となる複素数 \(z=a+bi\)（\(a~,~\)\(b\) は実数）について、
\((a~,~b)=(\fbox{ア}~,~\fbox{イウ})~,~\)\((\fbox{エオ}~,~\fbox{カ})\)
であるから、\(z=\fbox{キ}-i~,~\)\(\fbox{クケ}+i\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜複素数と方程式
15 数学IIBC【解答】
\((a~,~b)=(2~,~{-1})~,~(-2~,~1)\)
\(z=2-i~,~{-2+i}\)
【より詳しい解説】
\( a~,~b \) を実数として、複素数 \( z \) を \( z=a+bi \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~z^2&=&(a+bi)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2i^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)+2abi\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2i^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2abi+b^2 \cdot (-1)\hspace{15pt}(\,∵~i^2=-1\,)
\\[3pt]~~~&=&(a^2-b^2)+2abi\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これが、\( 3-4i \) と等しいので、実部と虚部がそれぞれ等しいことより、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{~\begin{array}{l}a^2-b^2=3~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\\[3pt]2ab=-4~~~\hspace{7pt}\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2ab&=&-4
\\[3pt]~~~ab&=&-2~~~\cdots{\small [\,3\,]}
\\[3pt]~~~(ab)^2&=&(-2)^2
\\[3pt]~~~a^2b^2&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \( a^2=b^2+3 \) を \( a^2b^2=4 \) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(b^2+3)b^2&=&4
\\[3pt]~~~b^4+3b^2-4&=&0
\\[3pt]~~~(b^2+4)(b^2-1)&=&0\end{eqnarray}\)
\( b^2+4 \neq 0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b^2-1&=&0
\\[3pt]~~~(b+1)(b-1)&=&0
\\[3pt]~~~b&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
・\( b=1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot 1&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&-2\end{eqnarray}\)
・\( b=-1 \) のとき、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a \cdot (-1)&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(a~,~b\) の値は、
\( (a~,~b)=(2~,~{-1})~,~(-2~,~1) \)
したがって、
\( z=2-i~,~{-2+i} \) となる
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