式と証明の問題01〜12です。PDFを印刷して解くか、このページで問題を確認して解いてみましょう。解き終わったら、各問題の下の「詳しい解説はこちら→」から、解答と詳しい解説を確認できます。
目次
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
01｜3次式の展開
01
次の式を展開せよ。
\({\small (1)}~\)\((x+2)^3\)
\(~=x^3+\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イウ}\,x+\fbox{エ}\)
\({\small (2)}~\)\((2x-3)^3\)
\(~=\fbox{オ}\,x^3-\fbox{カキ}\,x^2+\fbox{クケ}\,x-\fbox{コサ}\)
\({\small (3)}~\)\((x+2)(x^2-2x+4)=x^3+\fbox{シ}\)
\({\small (4)}~\)\((3x-1)(9x^2+3x+1)\)
\(~=\fbox{スセ}\,x^3-\fbox{ソ}\)
問題01｜詳しい解説はこちら→
次の式を展開せよ。
\({\small (1)}~\)\((x+2)^3\)
\(~=x^3+\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イウ}\,x+\fbox{エ}\)
\({\small (2)}~\)\((2x-3)^3\)
\(~=\fbox{オ}\,x^3-\fbox{カキ}\,x^2+\fbox{クケ}\,x-\fbox{コサ}\)
\({\small (3)}~\)\((x+2)(x^2-2x+4)=x^3+\fbox{シ}\)
\({\small (4)}~\)\((3x-1)(9x^2+3x+1)\)
\(~=\fbox{スセ}\,x^3-\fbox{ソ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
02｜3次式・6次式の因数分解
02
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(8x^3+1\)
\(~=(\fbox{ア}\,x+1)(\fbox{イ}\,x^2-\fbox{ウ}\,x+1)\)
\({\small (2)}~\)\(27x^3-64\)
\(~=(\fbox{エ}\,x-\fbox{オ})(\fbox{カ}\,x^2+\fbox{キク}\,x+\fbox{ケコ})\)
問題02｜詳しい解説はこちら→
次の式を因数分解せよ。
\({\small (1)}~\)\(8x^3+1\)
\(~=(\fbox{ア}\,x+1)(\fbox{イ}\,x^2-\fbox{ウ}\,x+1)\)
\({\small (2)}~\)\(27x^3-64\)
\(~=(\fbox{エ}\,x-\fbox{オ})(\fbox{カ}\,x^2+\fbox{キク}\,x+\fbox{ケコ})\)
\({\small (3)}~\)\(x^6-7x^3-8\)
\(=(x+\fbox{サ})(x^2-x+\fbox{シ})(x-\fbox{ス})(x^2+\fbox{セ}\,x+\fbox{ソ})\)
\(=(x+\fbox{サ})(x^2-x+\fbox{シ})(x-\fbox{ス})(x^2+\fbox{セ}\,x+\fbox{ソ})\)
※ 数式は横にスクロールできます。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
03｜二項定理と多項定理
03
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((3x-2y)^6\) の展開式における \(x^2y^4\) の項の係数は \(\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2x^2-x)^5\) の展開式における \(x^7\) の項の係数は \(\fbox{オカキ}\)
\({\small (3)}~\)\((x+y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2\) の項の係数は \(\fbox{クケコ}\)
問題03｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\((3x-2y)^6\) の展開式における \(x^2y^4\) の項の係数は \(\fbox{アイウエ}\)
\({\small (2)}~\)\((2x^2-x)^5\) の展開式における \(x^7\) の項の係数は \(\fbox{オカキ}\)
\({\small (3)}~\)\((x+y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2\) の項の係数は \(\fbox{クケコ}\)
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
04｜多項式を多項式で割った商と余り
04
整式 \(x^3-4x+7\) を整式 \(x^2-2x+3\) で割った商は \(x+\fbox{ア}\)、余りは \(\fbox{イウ}\,x+\fbox{エ}\) である。
問題04｜詳しい解説はこちら→
整式 \(x^3-4x+7\) を整式 \(x^2-2x+3\) で割った商は \(x+\fbox{ア}\)、余りは \(\fbox{イウ}\,x+\fbox{エ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
05｜商と余りと割る多項式
05
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \({\rm A}\) を整式 \(x-1\) で割ると、商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) であるとき、\({\rm A}=x^3-\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(3x^3+7x^2-x+16\) を整式 \({\rm B}\) で割ると、商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) であるとき、\({\rm B}=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オ}\,x+\fbox{カ}\) である。
問題05｜詳しい解説はこちら→
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)整式 \({\rm A}\) を整式 \(x-1\) で割ると、商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) であるとき、\({\rm A}=x^3-\fbox{ア}\,x^2+\fbox{イ}\,x+\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)整式 \(3x^3+7x^2-x+16\) を整式 \({\rm B}\) で割ると、商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) であるとき、\({\rm B}=\fbox{エ}\,x^2-\fbox{オ}\,x+\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
06｜分数式の計算
06
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}\)
\(~=\displaystyle\frac{\,(x+\fbox{ア})(x-\fbox{イ})\,}{\,(x+\fbox{ウ})(x-\fbox{エ})\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}=\displaystyle\frac{\,x+\fbox{オ}\,}{\,x(x+\fbox{カ})\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}=\fbox{キ}-x\)
問題06｜詳しい解説はこちら→
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}\)
\(~=\displaystyle\frac{\,(x+\fbox{ア})(x-\fbox{イ})\,}{\,(x+\fbox{ウ})(x-\fbox{エ})\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}=\displaystyle\frac{\,x+\fbox{オ}\,}{\,x(x+\fbox{カ})\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}=\fbox{キ}-x\)
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
07｜恒等式となる等式の条件
07
\(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) についての恒等式であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}~,~\)\(c=\fbox{ウ}\) である。
問題07｜詳しい解説はこちら→
\(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) についての恒等式であるとき、\(a=\fbox{ア}~,~\)\(b=\fbox{イ}~,~\)\(c=\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
08｜分数式の恒等式
08
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) についての恒等式となるとき、\(a=\fbox{アイ}~,~\)\(b=\fbox{ウ}\) である。
問題08｜詳しい解説はこちら→
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) についての恒等式となるとき、\(a=\fbox{アイ}~,~\)\(b=\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
09｜どのようなkの値でも成り立つ等式
09
\((k+2)x+(k-1)y-4k+1=0\) が、\(k\) のどのような値に対しても成り立つとき、\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
問題09｜詳しい解説はこちら→
\((k+2)x+(k-1)y-4k+1=0\) が、\(k\) のどのような値に対しても成り立つとき、\(x=\fbox{ア}~,~\)\(y=\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
10｜比例式と連比
10
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~(\neq 0)\) のとき、
\(a:b:c=\fbox{ア}:\fbox{イ}:\fbox{ウ}\) である。
問題10｜詳しい解説はこちら→
\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\displaystyle\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\displaystyle\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~(\neq 0)\) のとき、
\(a:b:c=\fbox{ア}:\fbox{イ}:\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
11｜不等式の証明
11
次の枠に適する式を選べ。
\({\small (1)}~\)不等式 \(x^2+y^2{\small ~≧~}2xy\) において、等号が成り立つのは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) のときである。
⓪ \(x=y\) ① \(x=-y\) ② \(x=y=0\)
\({\small (2)}~\)不等式 \(x^2+y^2{\small ~≧~}xy\) において、等号が成り立つのは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) のときである。
⓪ \(x=y\) ① \(x=-y\) ② \(x=y=0\)
問題11｜詳しい解説はこちら→
次の枠に適する式を選べ。
\({\small (1)}~\)不等式 \(x^2+y^2{\small ~≧~}2xy\) において、等号が成り立つのは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) のときである。
⓪ \(x=y\) ① \(x=-y\) ② \(x=y=0\)
\({\small (2)}~\)不等式 \(x^2+y^2{\small ~≧~}xy\) において、等号が成り立つのは \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{イ}\) のときである。
⓪ \(x=y\) ① \(x=-y\) ② \(x=y=0\)
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12｜相加平均と相乗平均の関係と最小値
12
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) を展開すると、
ここで、相加平均と相乗平均の関係より、
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}=\fbox{イ}\)
よって、最小値は \(\fbox{ウ}\) であり、そのとき \(a=\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
問題12｜詳しい解説はこちら→
\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) を展開すると、
\(\left(\,a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)=a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}+\fbox{ア}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、相加平均と相乗平均の関係より、
\(a^2+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}{\small ~≧~}2\sqrt{a^2 \cdot \displaystyle \frac{\,4\,}{\,a^2\,}}=\fbox{イ}\)
よって、最小値は \(\fbox{ウ}\) であり、そのとき \(a=\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
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