数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 08
08｜分数式の恒等式
08
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) についての恒等式となるとき、\(a=\fbox{アイ}~,~\)\(b=\fbox{ウ}\) である。
\(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) についての恒等式となるとき、\(a=\fbox{アイ}~,~\)\(b=\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
08 数学ⅡBC【解答】
\(a=-1~,~b=2\)
【より詳しい解説】
分母が \(1\) となるように、両辺に \((x-1)(x+2)\) を掛けると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)&=&\frac{\,a\,}{\,x-1\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}{\, \small \times \,}(x-1)(x+2)
\\[5pt]~~~x-4&=&a(x+2)+b(x-1)\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~x-4&=&a(x+2)+b(x-1)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
右辺を \(x\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-4&=&ax+2a+bx-b
\\[3pt]~~~x-4&=&(a+b)x+(2a-b)\end{eqnarray}\)
\(x\) について恒等式なので、両辺の \(x\) の係数と定数項を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}a+b=1~~~\hspace{12pt}\cdots{\small [\,1\,]}\\[3pt]2a-b=-4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&1 \\~~
+\big{)}~~2a-b&=&-4\\
\hline 3a&=&-3
\\[3pt] a&=&-1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+b&=&1\\[3pt]~~~b&=&2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a=-1~,~b=2\) となる
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