数学Ⅱ｜式と証明｜問題一覧 ＞ 問題解説 06
06｜分数式の計算
06
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}\)
\(~=\displaystyle\frac{\,(x+\fbox{ア})(x-\fbox{イ})\,}{\,(x+\fbox{ウ})(x-\fbox{エ})\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}=\displaystyle\frac{\,x+\fbox{オ}\,}{\,x(x+\fbox{カ})\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}=\fbox{キ}-x\)
次の式を計算せよ。
\({\small (1)}~\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}\)
\(~=\displaystyle\frac{\,(x+\fbox{ア})(x-\fbox{イ})\,}{\,(x+\fbox{ウ})(x-\fbox{エ})\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}=\displaystyle\frac{\,x+\fbox{オ}\,}{\,x(x+\fbox{カ})\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}=\fbox{キ}-x\)
共通テスト数学ⅡBC｜式と証明
06 数学ⅡBC【解答】
\({\small (1)}~\)\(\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,(x+5)(x-3)\,}\)
\({\small (2)}~\)\(\displaystyle\frac{\,x+4\,}{\,x(x+2)\,}\)
\({\small (3)}~\)\(1-x\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)割り算を逆数の掛け算にし、それぞれの分母分子を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&&\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \div \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,x^2-3x+2\,}{\,x^2-3x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x(x+1)\,}{\,(x+5)(x-2)\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,(x-1)(x-2)\,}{\,x(x-3)\,}\end{eqnarray}\)
共通因数 \(x\) と \(x-2\) を約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,\cancel{x}(x+1)\,}{\,(x+5)\cancel{(x-2)}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,(x-1)\cancel{(x-2)}\,}{\,\cancel{x}(x-3)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+1)(x-1)\,}{\,(x+5)(x-3)\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)分母をそれぞれ因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
分母が等しくなるように、左の分数式には \(x\) を、右の分数式には \(x+2\) を分母と分子に掛けて通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,(x+2)(x-1)\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x(x-1)\,}\cdot\displaystyle\frac{\,x+2\,}{\,x+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x^2+5x)-(2x+4)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}-\displaystyle\frac{\,2x+4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x^2+5x)-(2x+4)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x^2+3x-4\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
分子を因数分解して約分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,(x+4)(x-1)\,}{\,x(x+2)(x-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,x+4\,}{\,x(x+2)\,}\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\)\(1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\) を通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,x\,}\,}\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,x\,}\,}=\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\,}
\end{eqnarray}\)
次に、\(1-\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\) を通分して計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,x-1-x\,}{\,x-1\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,-1\,}{\,x-1\,}\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\displaystyle\frac{\,-1\,}{\,x-1\,}\,}=\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,-1\,}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,x-1\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&-x+1
\\[5pt]~~~&=&1-x
\end{eqnarray}\)
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