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東京書籍:Advanced数学Ⅱ

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1章 方程式・式と証明
3章 三角関数
4章 指数関数・対数関数
5章 微分と積分

 



2章 図形と方程式

1節 点と直線

問題 解答
p.62
問1
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~6\) \({\small (3)}~4\)
p.63
問2
\({\small (1)}~3\sqrt{5}\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~5\) \({\small (4)}~17\)
平面上の線分の長さ
p.63
問3
\({\small (1)}~\angle{\rm B}=90^\circ\) で \({\rm AB=BC}\) の直角二等辺三角形
\({\small (2)}~\)正三角形
平面上の三角形の形状
p.63
問4
\({\rm Q}(0,5)\)
線分の長さの条件
p.64
問5
p.64
問6
\({\small (1)}~{\rm M}(1)\) \({\small (2)}~{\rm P}(2)\)
\({\small (3)}~{\rm Q}(-2)\) \({\small (4)}~{\rm R}(4)\)
p.65
問7

直線上の線分の長さ・内分点・外分点
p.65
問8
\({\small (1)}~{\rm P}(19)\) \({\small (2)}~{\rm Q}(-11)\)
p.67
問9
\({\small (1)}~\)
\({\rm P}\left(4,{\large \frac{21}{5}}\right)~,~{\rm Q}(16,9)~,~{\rm M}\left({\large \frac{7}{2}},4\right)\)
\({\small (2)}~\)
\({\rm P}\left({\large \frac{8}{5}},{\large \frac{3}{5}}\right)~,~{\rm Q}(16,-9)~,~{\rm M}(1,1)\)
平面上の内分点・外分点・重心
p.67
問10
\({\small (1)}~{\rm M}(1,1)\)
\({\small (2)}~{\rm D}(-3,4)\)
平行四辺形を作る点の座標
p.68
問11
\({\rm G}\left(2,-{\large \frac{2}{3}}\right)\)
平面上の内分点・外分点・重心
p.69
問12
\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

\({\small (3)}~\)
p.70
問13
\({\small (1)}~y=2x+10\)
\({\small (2)}~y=-{\large \frac{1}{3}}x+3\)
直線の方程式
p.71
問14
\({\small (1)}~y=3x-9\)
\({\small (2)}~y=-{\large \frac{2}{3}}x+3\)
\({\small (3)}~x=-2\)
\({\small (4)}~y=7\)
2点を通る直線の方程式
p.71
問15
\({\small (1)}~y=-{\large \frac{1}{3}}x+{\large \frac{16}{3}}\)
\({\small (2)}~a=1\)
p.71
問16
\(2x-3y-6=0\)
p.73
問17
互いに平行:①と④
互いに垂直:②と③
p.73
問18
平行 \(2x-5y-11=0\)
垂直 \(5x+2y-13=0\)
平行な直線と垂直な直線
p.73
問19
\(a=1\)
p.74
問20
\((-2,2)\)
直線に対して対称な点
p.75
問21
\({\small (1)}~(-1,2)\) \({\small (2)}~\left({\large \frac{4}{3}},-2\right)\)
p.75
問22
\(m={\large \frac{5}{4}}\)
3直線が1点で交わる
p.76
問23
\(16x-7y-9=0\)
2直線の交点を通る直線
p.78
問24
\({\small (1)}~{\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{5\sqrt{13}}{13}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{7\sqrt{10}}{5}}\)
点と直線との距離
p.78
問25
[証明] 座標平面上に4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとると、
 \({\rm A}(a~,~b)\) \({\rm B}(-c~,~0)\)
 \({\rm C}(2c~,~0)\) \({\rm D}(0~,~0)\)
このとき、
 \({\rm AB}^2=(-c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+c^2+2ca\)
 \({\rm AC}^2=(2c-a)^2+(-b)^2\)
    \(=a^2+b^2+4c^2-4ca\)
よって、
  \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2\)
 \(=3(a^2+b^2+2c^2)\)
また、
 \({\rm AD}^2=a^2+b^2\)
 \({\rm BD}^2=(-c)^2=c^2\)
よって、
  \({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2\)
 \(=a^2+b^2+2c^2\)
したがって、
 \(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
座標を利用した等式の証明
p.79
問26
[証明] 座標平面上に3点を
 \({\rm A}(a~,~b)~,~{\rm B}(-c~,~0)~,~{\rm C}(c~,~0)\)
とすると、
直線 \({\rm AB}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a+c}}\) で、辺 \({\rm AB}\) の中点が \(\left({\large \frac{a-c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a+c}{b}\left(x-\frac{a-c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a+c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを①とする
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きが \({\large \frac{b}{a-c}}\) で、辺 \({\rm AC}\) の中点が \(\left({\large \frac{a+c}{2}}~,~{\large \frac{b}{2}}\right)\) より、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、$$~~~y-\frac{b}{2}=-\frac{a-c}{b}\left(x-\frac{a+c}{2}\right)$$$$~\Leftrightarrow~y=-\frac{a-c}{b}x+\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}$$これを②とする
①と②を連立すると、交点は$$~~~\left(0~,~\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}\right)$$これは、\(y\) 軸上のの点で辺 \({\rm BC}\) 上にある
したがって、三角形の3辺の垂直二等分線は、1点で交わる [終]
問題
p.80
1
\(24\)
p.80
2
\((-1,4)\)
p.80
3
\({\small (1)}~3x+5y-8=0\)
\({\small (2)}~5x-3y-2=0\)
p.80
4
\(x-3y-14=0\)
p.80
5
[証明]
それぞれの直線の傾きは、
 \(-{\large \frac{a_1}{b_1}}~,~-{\large \frac{a_2}{b_2}}\)
これより、2直線が平行となるので、
 \(-{\large \frac{a1}{b_1}}=-{\large \frac{a_2}{b_2}}\)
式変形すると、
 \(a_1b_2-a_2b_1=0\)
したがって、
2直線が平行\(~~\Leftrightarrow~~a_1b_2-a_2b_1=0\)

また、2直線が垂直となるので、
 \(\left(-{\large \frac{a_1}{b_1}}\right)\left(-{\large \frac{a_2}{b_2}}\right)=-1\)
式変形すると、
 \(a_1a_2+b_1b_2=0\)
したがって、
2直線が垂直\(~~\Leftrightarrow~~a_1a_2+b_1b_2=0\)
[終]

p.80
6
平行の条件 \(a=-1~,~4\)
垂直の条件 \(a={\large \frac{12}{5}}\)
p.80
7
\((q,p)\)
p.80
8
\(2\)



2節 円

問題 解答
p.81
問1
\((x-2)^2+(y+1)^2=3\)
円の方程式
p.81
問2
\((x+1)^2+(y-3)^2=13\)
p.81
問3
\({\small (1)}~(3,1)\)
\({\small (2)}~(x-3)^2+(y-1)^2=25\)
円の方程式の決定①(点の条件)
p.82
問4
\({\small (1)}~\)中心 \((3,-2)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((0,-{\large \frac{5}{2}})\)、半径 \({\large \frac{\sqrt{17}}{2}}\) の円
\({\small (3)}~\)点 \((-2,5)\)
円の方程式
p.82
問5
\(n<{\large \frac{5}{2}}\)
円の方程式を表す条件
p.83
問6
\({\small (1)}~x^2+y^2-8x+2y+4=0\)
\({\small (2)}~\)外心 \((4,-1)\)、半径 \(\sqrt{13}\)
円の方程式の決定①(点の条件)
p.84
問7
\({\small (1)}~(1,3)~,~(3,-1)\)
\({\small (2)}~(-1,3)\)
円と直線との共有点
p.85
問8
\({\small (1)}~\)共有点2個
\({\small (2)}~\)共有点1個
\({\small (3)}~\)共有点なし
p.86
問9
\(k<-2\sqrt{10}~,~2\sqrt{10}<k\)
p.87
問10
\(k=\pm15\)
円と直線との位置関係
p.87
問11
\(2\sqrt{3}\)
円によって切り取られる線分
p.89
問12
\({\small (1)}~3x+4y-25=0\)
\({\small (2)}~x-2\sqrt{2}y+9=0\)
\({\small (3)}~y=4\)
\({\small (4)}~x=-\sqrt{10}\)
p.89
問13
\(x+7y-50=0~,~x-y-10=0\)
円の接線の方程式
p.90
問14
\((x-3)^2+(y-4)^2=16\)
2つの円の位置関係
p.91
問15
\((1,-2)~,~(2,1)\)
2つの円の共有点の座標
p.92
問16
\(x^2+y^2-x+{\large \frac{1}{3}}y-{\large \frac{10}{3}}=0\)
2つの円の交点を通る円・直線
問題
p.93
9
\({\small (1)}~(x+4)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (2)}~(x+4)^2+(y+5)^2=5\)
\({\small (3)}~(x-2)^2+y^2=4\)
\({\small (4)}~(x-3)^2+(y-1)^2=26\)
p.93
10
中心 \(\left({\large \frac{1}{3}},{\large \frac{1}{2}}\right)\)、半径 \({\large \frac{1}{6}}\) の円
p.93
11
\({\small (1)}~x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
\({\small (2)}~a=-1~,~5\)
p.93
12
\(m<-\sqrt{15}~,~\sqrt{15}<m\)
p.93
13
\({\small (1)}~\)
 接点 \((0,2)\)、接線 \(y=2\)
 接点 \(\left({\large \frac{24}{13}},-{\large \frac{10}{13}}\right)\)、接線 \(12x-5y-26=0\)
\({\small (2)}~3x+2y-4=0\)
p.93
14
\(y={\large \frac{1}{2}}x+5~,~y={\large \frac{1}{2}}x-5\)
p.93
15
\((x-4)^2+(y-2)^2=5\)
\((x-4)^2+(y-2)^2=45\)
p.93
16
\(-4<k<4\)



3節 軌跡と領域

問題 解答
p.95
問1
直線 \(x=-2\)
p.95
問2
中心が\((7,0)\)、半径 \(6\) の円
p.96
問3
中心が\(\left({\large \frac{8}{3}},{\large \frac{8}{3}}\right)\)、半径 \({\large \frac{2}{3}}\) の円
軌跡①
p.96
問4
放物線 \(y=2x^2-8x+9\)
軌跡②(動点を含む)
p.98
問5
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
\({\small (4)}~\)

境界線を含む
p.99
問6
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
\({\small (4)}~\)

境界線を含む
不等式の表す領域
p.99
問7
\({\small (1)}~x^2+y^2>5\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2≦13\)
p.100
問8

境界線を含まない
p.100
問9
第1象限 \(x>0~,~y>0\)
第2象限 \(x<0~,~y>0\)
第3象限 \(x<0~,~y<0\)
第4象限 \(x>0~,~y<0\)
p.100
問10

境界線を含む
p.101
問11
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
連立不等式の表す領域①
p.101
問12

境界線を含む
連立不等式の表す領域②(積の形)
p.102
問13
\({\small (1)}~\)
[証明] \(x^2+y^2≦8\) の領域を \(P\)、\(x+y≦4\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになり、境界線を含む

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2≦8~\Rightarrow~x+y≦4\)
[終]

\({\small (2)}~\)
[証明] \(x^2+y^2-6x-8y<0\) の領域を \(P\)、\(x>0\) または \(y>0\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2-6x-8y<0\)
   \(~\Rightarrow~x>0\) または \(y>0\)
[終]
領域を用いた証明

p.103
問14
最大値 \(3~(x=1~,~y=2)\)
最小値 \(0~(x=0~,~y=0)\)
線形計画法
問題
p.104
17
\({\small (1)}~\)中心 \((9,3)\)、半径 \(2\sqrt{11}\) の円
\({\small (2)}~\)直線 \(x={\large \frac{8}{3}}\)
p.104
18
直線 \(2x-y+4=0\)
p.104
19
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含まない
\({\small (3)}~\)

境界線を含まない
p.104
20
\({\small (1)}~\)

境界線を含む
\({\small (2)}~\)

境界線を含まない
\({\small (3)}~\)

境界線を含む
p.104
21
\({\small (1)}~\)
[証明] \(x^2+y^2-6x+8y+16<0\) の領域を \(P\)、\(x>0\) または \(y<0\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになる

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2-6x+8y+16<0\)
   \(~\Rightarrow~x>0\) または \(y<0\)
[終]

\({\small (2)}~\)
[証明] \(x^2+y^2+2x-4y≧15\) の領域を \(P\)、\(x^2+y^2≧5\) の領域を \(Q\) とする
これらの領域を図示すると次の図のようになり、境界線を含む

これより、\(P\subset Q\) が成り立つ
したがって、
 \(x^2+y^2+2x-4y≧15\)
   \(~\Rightarrow~x^2+y^2≧5\)
[終]

p.104
22
\(x=2~,~y=1\) で最大値 \(5\)
p.105
参考1
\({\small (1)}~\)

境界線を含まない
\({\small (2)}~\)

境界線を含む
p.105
参考2

境界線を含まない
p.105
参考3

境界線を含む



練習問題 図形と方程式

問題 解答
練習問題A
p.106
1
\(a=-5\)
p.106
2
\((-3,2)\)
p.106
3
\({\small (1)}~\sqrt{13}\) \({\small (2)}~{\large \frac{11}{2}}\)
p.106
4
座標平面上に4点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) を次のようにとる、
 \({\rm A}(0~,~0)\) \({\rm B}(a~,~0)\)
 \({\rm C}(a~,~b)\) \({\rm D}(0~,~b)\)
また、任意の点を \({\rm P}(x~,~y)\)
このとき、
 \({\rm PA}^2=x^2+y^2\)
 \({\rm PC}^2=(x-a)^2+(y-b)^2\)
よって、
  \({\rm PA}^2+{\rm PC}^2\)
 \(=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2\)
また、
 \({\rm PB}^2=(x-a)^2+y^2\)
 \({\rm PD}^2=x^2+(y-b)^2\)
よって、
  \({\rm PB}^2+{\rm PD}^2\)
 \(=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2\)
したがって、
 \({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\) [終]
p.106
5
\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-5)^2+(y-5)^2=25\)
p.106
6
\((x+1)^2+(y-4)^2=6\)
p.106
7
中心が\((2,1)\)、半径 \(1\) の円
p.106
8
\({\small (1)}~y<x+1~,~y>4x-8\)
\(~~~~~~y>-{\large \frac{1}{2}}x+1\)
\({\small (2)}~x^2+y^2>1~,~(x-1)^2+y^2<4\)
練習問題B
p.107
8
\(m≦-3~,~4≦m\)
p.107
9
\({\small (1)}~\sqrt{x_1^2+y_1^2}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
\({\small (3)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm OAB}\) の底辺を \({\rm OA}\)、高さを \({\rm AB}\) とする
(1)と(2)の解を用いると、
  \(\triangle {\rm OAB}\)
 \(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot d\)
 \(={\large \frac{1}{2}}\cdot\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot{\large \frac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}\)
 \(={\large \frac{1}{2}}|x_1y_2-x_2y_1|\)
[終]
p.107
10
\(3<r<15\)
p.107
11
\(y=x-6\)
p.107
12
\({\small (1)}~-2\sqrt{2}<k<2\sqrt{2}\)
\({\small (2)}~\left(-{\large \frac{k}{2}}~,~{\large \frac{k}{2}}\right)\)
\({\small (3)}~\)
直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}\) の範囲
p.107
13

境界線を含まない
p.107
14
最大値 \(13\)
最小値 \(5\)

 



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