東京書籍：Advanced数学Ⅱ

2020.05.312023.03.11

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１章　方程式・式と証明
２章　図形と方程式
４章　指数関数・対数関数
５章　微分と積分

３章　三角関数

３章　三角関数

１節　三角関数

p.110 問1
${\small (1)}~$

${\small (2)}~$

${\small (3)}~$

${\small (4)}~$

p.111 問2
${\small (1)}~140^\circ+360^\circ\times n$ ($n$ は整数)
${\small (2)}~280^\circ+360^\circ\times n$ ($n$ は整数)
${\small (3)}~70^\circ+360^\circ\times n$ ($n$ は整数)
${\small (4)}~250^\circ+360^\circ\times n$ ($n$ は整数)
→ 動径と一般角

p.111 問3
${\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{5}{6}}\pi~,~-{\large \frac{2}{3}}\pi$
${\large \frac{9}{4}}\pi~,~{\Large \frac{1}{180}}\pi$

p.112 問4
$36^\circ~,~135^\circ$
$-450^\circ~,~-540^\circ$

p.112 問5
${\large \frac{9}{2}}\pi~,~{\large \frac{27}{2}}\pi$
→ 弧度法と扇形

p.113 問6
${\small (1)}~$
$\sin{{\large \frac{5}{4}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}~,~\cos{{\large \frac{5}{4}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$\tan{{\large \frac{5}{4}}\pi}=1$
${\small (2)}~$
$\sin{{\large \frac{11}{6}}\pi}=-{\large \frac{1}{2}}~,~\cos{{\large \frac{11}{6}}\pi}={\large \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\tan{{\large \frac{11}{6}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}$
${\small (3)}~$
$\sin{(-3\pi)}=0~,~\cos{(-3\pi)}=-1$
$\tan{(-3\pi)}=0$
→ 三角関数の値（単位円）
→ 【問題演習】三角関数の値（単位円）

p.114 問7
${\small (1)}~$
　$\sin{\left(-{\large \frac{\pi}{6}}\right)}=-{\large \frac{1}{2}}$
　$\cos{\left(-{\large \frac{\pi}{6}}\right)}={\large \frac{\sqrt{3}}{2}}$
　$\tan{\left(-{\large \frac{\pi}{6}}\right)}=-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}$
${\small (2)}~$
　$\sin{\left(-{\large \frac{2}{3}}\pi\right)}=-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}$
　$\cos{\left(-{\large \frac{2}{3}}\pi\right)}=-{\large \frac{1}{2}}$
　$\tan{\left(-{\large \frac{2}{3}}\pi\right)}=\sqrt{3}$
${\small (3)}~$
　$\sin{\left(-{\large \frac{5}{4}}\pi\right)}={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$
　$\cos{\left(-{\large \frac{5}{4}}\pi\right)}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$
　$\tan{\left(-{\large \frac{5}{4}}\pi\right)}=-1$

p.114 問8
${\small (1)}~$第４象限
${\small (2)}~$第２象限

p.116 問9
[証明]
$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ の両辺を $\cos^2{\theta}$ で割ると、$$~~~{ \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}+1={ \frac{1}{\cos^2{\theta}}}$$${\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}=\tan{\theta}$ より、$$~~~1+\tan^2{\theta}={ \frac{1}{\cos^2{\theta}}}$$[終]

p.117 問10
$\cos{\theta}={\large \frac{2\sqrt{2}}{3}}~,~\tan{\theta}=-{\large \frac{\sqrt{2}}{4}}$

p.117 問11
$\cos{\theta}=-{\large \frac{\sqrt{5}}{5}}~,~\sin{\theta}={\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}$
→ 三角関数の相互関係の公式

p.117 問12
${\large \frac{12}{25}}~,~{\large \frac{37}{125}}$
→ 三角関数の式の値

p.117 問13
${\small (1)}~$[証明]
　(左辺)$$={ \frac{1}{\sin^2{\theta}}}\left({ \frac{1-\cos^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}\right)$$$$={ \frac{1}{\sin^2{\theta}}}\cdot{ \frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}}$$$$={ \frac{1}{\cos^2{\theta}}}$$したがって、$$~{ \frac{1}{\sin^2{\theta}}}\left({ \frac{1}{\cos^2{\theta}}}-1\right)={ \frac{1}{\cos^2{\theta}}}$$[終]

${\small (2)}~$[証明]
　(左辺)$$={ \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}+{ \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}}$$$$={ \frac{\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin{\theta}\cos{\theta}}}$$$$={ \frac{1}{\sin{\theta}\cos{\theta}}}$$したがって、$$~\tan{\theta}+{ \frac{1}{\tan{\theta}}}={ \frac{1}{\sin{\theta}\cos{\theta}}}$$[終]
→ 三角関数の等式の証明

p.118 問14
$\sin{{\large \frac{27}{4}}\pi}={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}~,~\cos{{\large \frac{27}{4}}\pi}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}$
$\tan{{\large \frac{27}{4}}\pi}=-1$

p.118 問15
$\sin{\left(-{\large \frac{5}{6}}\pi\right)}=-{\large \frac{1}{2}}$
$\cos{\left(-{\large \frac{5}{6}}\pi\right)}=-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\tan{\left(-{\large \frac{5}{6}}\pi\right)}={\large \frac{1}{\sqrt{3}}}$

p.119 問16
${\small (1)}~a$　${\small (2)}~-a$　${\small (3)}~-a$
→ 三角関数の性質①

p.119 問17
公式５
[証明]$$~~~~~\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}$$$$=\sin{\left\{{ \frac{\pi}{2}}+(-\theta)\right\}}$$$$=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}$$
$$~~~~~\cos{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}$$$$=\cos{\left\{{ \frac{\pi}{2}}+(-\theta)\right\}}$$$$=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}$$
$$~~~~~\tan{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}$$$$=\tan{\left\{{ \frac{\pi}{2}}+(-\theta)\right\}}$$$$=-{ \frac{1}{\tan{(-\theta)}}}={ \frac{1}{\tan{\theta}}}$$[終]

公式６
[証明]
　$\sin{(\pi-\theta)}$
$=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}$
$=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}$

　$\cos{(\pi-\theta)}$
$=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}$
$=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}$

　$\tan{(\pi-\theta)}$
$=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}$
$=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}$
[終]
→ 三角関数の性質②

p.123 問18
奇関数

p.123 問19
${\small (1)}~$

周期 $2\pi$
${\small (2)}~$

周期 $2\pi$
→ 三角関数のグラフ②（縦幅の変化）

p.124 問20
${\small (1)}~$

周期 $2\pi$
${\small (2)}~$

周期 $2\pi$
→ 三角関数のグラフ④（平行移動）

p.125 問21
${\small (1)}~$

周期 $\pi$
${\small (2)}~$

周期 $3\pi$
→ 三角関数のグラフ③（周期の変化）

p.125 問22
${\small (1)}~$

周期 $\pi$
${\small (2)}~$

周期 $4\pi$
→ 三角関数のグラフ⑤（式変形）

p.126 問23
${\small (1)}~n$ を整数として、
　$\theta={\large \frac{\pi}{3}}+2n\pi~,~{\large \frac{2}{3}}\pi+2n\pi$
${\small (2)}~n$ を整数として、
　$\theta={\large \frac{\pi}{3}}+2n\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi+2n\pi$

p.126 問24
${\small (1)}~n$ を整数として、
　$\theta={\large \frac{\pi}{4}}+n\pi$
${\small (2)}~n$ を整数として、
　$\theta={\large \frac{5}{6}}\pi+n\pi$
→ 三角関数を含む方程式①
→ 【問題演習】三角関数を含む方程式

p.127 問25
${\small (1)}~\theta={\large \frac{3}{2}}\pi~,~{\large \frac{11}{6}}\pi$
${\small (2)}~\theta={\large \frac{7}{12}}\pi~,~{\large \frac{23}{12}}\pi$
→ 三角関数を含む方程式②（範囲変化）

p.128 問26
${\small (1)}~{\large \frac{\pi}{6}}<\theta<{\large \frac{5}{6}}\pi$
${\small (2)}~{\large \frac{3}{4}}\pi≦\theta≦{\large \frac{5}{4}}\pi$

p.128 問27
${\small (1)}~0≦\theta<{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{5}{3}}\pi<\theta<2\pi$
${\small (2)}~0≦\theta<{\large \frac{5}{4}}\pi~,~{\large \frac{7}{4}}\pi<\theta<2\pi$
${\small (3)}~0≦\theta<{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{2}{3}}\pi<\theta<2\pi$

p.129 問28
${\small (1)}~{\large \frac{\pi}{3}}<\theta<{\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{4}{3}}\pi<\theta<{\large \frac{3}{2}}\pi$
${\small (2)}~{\large \frac{\pi}{2}}<\theta≦{\large \frac{5}{6}}\pi~,~{\large \frac{2}{3}}\pi<\theta≦{\large \frac{11}{6}}\pi$
→ 三角関数を含む不等式①

p.129 問29
$-{\large \frac{\pi}{3}}<\theta<{\large \frac{\pi}{4}}$

p.130 問30
$\theta={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{5}{3}}\pi$ で最大値 ${\large \frac{9}{4}}$
$\theta=\pi$ で最小値 $0$
→ 三角関数を含む２次関数

問題

p.131 1
${\small (1)}~-{\large \frac{\sqrt{6}}{2}}$　${\small (2)}~-{\large \frac{3\sqrt{6}}{8}}$

p.131 2
${\small (1)}~b$　${\small (2)}~-b$　${\small (3)}~-{\large \frac{b}{a}}$

p.131 3
${\small (1)}~$[証明]
　(左辺)$$={ \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}}+{ \frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}}$$$$={ \frac{\sin{\theta}(1-\cos{\theta})+\sin{\theta}(1+\cos{\theta})}{1-\cos^2{\theta}}}$$$$={ \frac{2\sin{\theta}}{\sin^2{\theta}}}$$$$={ \frac{2}{\sin{\theta}}}$$したがって、$${ \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}}+{ \frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}}={ \frac{2}{\sin{\theta}}}$$[終]

${\small (2)}~$[証明]
$\sin{\left({\large \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}=\cos{\theta}$
$\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}$
また、$$~~~~~\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}$$$$=\sin{\left(\pi+{ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}$$$$=-\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}$$$$=-\cos{\theta}$$これらより、
　(左辺)
$=\cos{\theta}+\cos{\theta}-\cos{\theta}-\cos{\theta}=0$
したがって、$$~\cos{\theta}+\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}$$$$~~~~+\cos{(\pi-\theta)}+\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}=0$$[終]

p.131 4
${\small (1)}~$

周期 $\pi$
${\small (2)}~$

周期 $4\pi$
${\small (3)}~$

周期 ${\large \frac{2}{3}}\pi$

p.131 5
${\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{2}{3}}\pi~,~{\large \frac{4}{3}}\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi$
${\small (2)}~\theta={\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{7}{6}}\pi~,~{\large \frac{4}{3}}\pi$
${\small (3)}~\theta={\large \frac{3}{2}}\pi$

p.131 6
${\small (1)}~$
${\large \frac{\pi}{3}}<\theta<{\large \frac{3}{4}}\pi~,~{\large \frac{5}{4}}\pi<\theta<{\large \frac{5}{3}}\pi$
${\small (2)}~$
${\large \frac{\pi}{6}}<\theta<{\large \frac{5}{6}}\pi~,~{\large \frac{7}{6}}\pi<\theta<{\large \frac{11}{6}}\pi$
${\small (3)}~$
$0≦\theta≦{\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi≦\theta≦{\large \frac{7}{6}}\pi$
${\large \frac{11}{6}}\pi≦\theta<2\pi$

p.131 7
$\theta={\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi$ のとき、最大値 ${\large \frac{5}{4}}$
$\theta={\large \frac{3}{2}}\pi$ のとき、最小値 $-1$

２節　加法定理

p.134 問1
${\large \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}~,~{\large \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

p.134 問2
${\large \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}~,~{\large \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$
→ 加法定理

p.134 問3
${\small (1)}~-{\large \frac{77}{85}}$　${\small (2)}~-{\large \frac{84}{85}}$　${\small (3)}~{\large \frac{36}{85}}$
→ 加法定理と式の値

p.135 問4
[証明]
　$\tan{(\alpha+\beta)}={\large \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}}$
これより、$\beta~\to~-\beta$ とすると、
　$\tan{(\alpha-\beta)}={\large \frac{\tan{\alpha}+\tan{(-\beta)}}{1-\tan{\alpha}\tan{(-\beta)}}}$
ここで、$\tan{(-\beta)}=-\tan{\beta}$ より、
　$\tan{(\alpha-\beta)}={\large \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}}$
[終]

p.135 問5
$2-\sqrt{3}~,~-2-\sqrt{3}$

p.135 問6
${\large \frac{\pi}{4}}$

p.136 問7
${\large \frac{\pi}{4}}$

p.136 問8
$3$
→ ２直線のなす角

p.137 問9
$\sin{2\alpha}=-{\large \frac{4\sqrt{2}}{9}}~,~\cos{2\alpha}=-{\large \frac{7}{9}}$
$\tan{2\alpha}={\large \frac{4\sqrt{2}}{7}}$
→ ２倍角の公式

p.137 問10
${\small (1)}~$ [証明]
$~~~~~\sin{3\alpha}$
$=\sin{(2\alpha+\alpha)}$
$=\sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha}$
$=2\sin{\alpha}\cos^2{\alpha}+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha}$
$=2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})+\sin{\alpha}-2\sin^3{\alpha}$
$=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}$
したがって、
$\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}$　[終]

${\small (2)}~$ [証明]
$~~~~~\cos{3\alpha}$
$=\cos{(2\alpha+\alpha)}$
$=\cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha}$
$=(2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}-2\sin^2{\alpha}\cos{\alpha}$
$=2\cos^3{\alpha}-\cos{\alpha}-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha}$
$=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$
したがって、
$\cos{3\alpha}=4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}$ [終]

p.138 問11
${\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{3}{2}}\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi$
${\small (2)}~\theta={\large \frac{\pi}{2}}~,~{\large \frac{7}{6}}\pi~,~{\large \frac{11}{6}}\pi$

p.138 問12
$0≦\theta<{\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi<\theta<{\large \frac{3}{2}}\pi$
${\large \frac{3}{2}}\pi<\theta<2\pi$

p.139 問13
[証明]
$\tan{\alpha}={\large \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}}$ より、$$~~~~~\tan^2{{ \frac{\alpha}{2}}}$$$$={ \frac{\sin^2{{\large \frac{\alpha}{2}}}}{\cos^2{{\large \frac{\alpha}{2}}}}}$$$$={ \frac{{\large \frac{1-\cos{\alpha}}{2}}}{{\large \frac{1+\cos{\alpha}}{2}}}}$$$$={ \frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}$$したがって、$$~~~\tan^2{{ \frac{\alpha}{2}}}={ \frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}$$[終]

p.139 問14
${\large \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}~,~\sqrt{2}-1$

p.139 問15
$-{\large \frac{\sqrt{6}}{6}}$
→ 半角の公式

p.140 問16
${\small (1)}~2\sin{\left(\theta+{\large \frac{\pi}{6}}\right)}$
${\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-{\large \frac{\pi}{4}}\right)}$

p.141 問17
${\small (1)}~5\sin{(\theta+\alpha)}$
ただし、$\alpha$ は、
　$\cos{\alpha}={\large \frac{3}{5}}~,~\sin{\alpha}={\large \frac{4}{5}}$
${\small (2)}~\sqrt{29}\sin{(\theta+\alpha)}$
ただし、$\alpha$ は、
　$\cos{\alpha}={\large \frac{5}{\sqrt{29}}}~,~\sin{\alpha}=-{\large \frac{2}{\sqrt{29}}}$
→ 三角関数の合成

p.141 問18
${\small (1)}~$
最大値 $2\sqrt{3}$、最小値 $-2\sqrt{3}$
${\small (2)}~$
最大値 $13$、最小値 $-13$
→ 三角関数の最大値・最小値

p.142 問19
${\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{12}}~,~{\large \frac{17}{12}}\pi$
${\small (2)}~\theta=\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi$
→ 合成を用いる方程式と不等式

問題

p.143 8
${\small (1)}~{\large \frac{6-\sqrt{35}}{12}}$　${\small (2)}~{\large \frac{-3\sqrt{5}+2\sqrt{7}}{12}}$

p.143 9
$0$

p.143 10
${\small (1)}~$[証明]
加法定理より、
　(左辺)$$=\tan{\left({ \frac{\pi}{4}}+\theta\right)}$$$$={ \frac{\tan{{\large \frac{\pi}{4}}}+\tan{\theta}}{1-\tan{{\large \frac{\pi}{4}}}\tan{\theta}}}$$$$={ \frac{1+\tan{\theta}}{1-\tan{\theta}}}$$したがって、$$~~~\tan{\left({ \frac{\pi}{4}}+\theta\right)}={ \frac{1+\tan{\theta}}{1-\tan{\theta}}}$$[終]

${\small (2)}~$[証明]
２倍角の公式より、
　(左辺)$$={ \frac{\sin{2\theta}}{1+\cos{2\theta}}}$$$$={ \frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{1+(2\cos^2{\theta}-1)}}$$$$={ \frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{2\cos^2{\theta}}}$$$$={ \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}=\tan{\theta}$$したがって、$$~~~{ \frac{\sin{2\theta}}{1+\cos{2\theta}}}=\tan{\theta}$$[終]

p.143 11
$y={\large \frac{2}{3}}x~,~y=-{\large \frac{3}{2}}x$

p.143 12
${\small (1)}~-{\large \frac{17}{25}}$　${\small (2)}~-{\large \frac{4\sqrt{21}}{25}}$
${\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{70}}{10}}$

p.143 13
${\small (1)}~\theta=0~,~{\large \frac{\pi}{3}}~,~\pi~,~{\large \frac{5}{3}}\pi$
${\small (2)}~\theta={\large \frac{3}{2}}\pi$

p.143 14
${\small (1)}~{\large \frac{\pi}{12}}<\theta<{\large \frac{7}{12}}\pi$
${\small (2)}~{\large \frac{5}{6}}\pi≦\theta≦{\large \frac{3}{2}}\pi$

p.143 15
$\theta={\large \frac{7}{6}}\pi~,~{\large \frac{11}{6}}\pi$ のとき、最大値 ${\large \frac{3}{2}}$
$\theta={\large \frac{\pi}{2}}$ のとき、最小値 $-3$

p.143 16
$\theta={\large \frac{\pi}{4}}$ のとき、最大値 $\sqrt{2}$
$\theta=\pi$ のとき、最小値 $-1$

p.144 発展1
[証明] 加法定理より、
　$\sin{(\alpha+\beta)}$
　　　$=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$ …①
　$\sin{(\alpha-\beta)}$
　　　$=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$ …②
①−②より、
　$\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}$
　　　　　$=2\cos{\alpha}\sin{\beta}$
したがって、
　$\cos{\alpha}\sin{\beta}$
　　　　$={\large \frac{1}{2}}\left\{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\right\}$

また、加法定理より、
　$\cos{(\alpha+\beta)}$
　　　$=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$ …③
　$\cos{(\alpha-\beta)}$
　　　$=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$ …④
③＋④より、
　$\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}$
　　　　　$=2\cos{\alpha}\cos{\beta}$
したがって、
　$\cos{\alpha}\cos{\beta}$
　　　　$={\large \frac{1}{2}}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\right\}$

また、③−④より、
　$\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}$
　　　　　$=-2\sin{\alpha}\sin{\beta}$
したがって、
　$\sin{\alpha}\sin{\beta}$
　　$=-{\large \frac{1}{2}}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\right\}$
[終]

p.144 発展2
${\small (1)}~{\large \frac{\sqrt{2}}{4}}$　${\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{2}}{4}}$

p.144 発展3
${\small (1)}~{\large \frac{1}{2}}(\sin{4\theta}-\sin{3\theta})$
${\small (2)}~{\large \frac{1}{2}}(\cos{5\theta}+\cos{\theta})$
${\small (3)}~-{\large \frac{1}{2}}(\cos{5\theta}-\cos{3\theta})$

p.145 発展4
${\small (1)}~{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}$　${\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{2}}$

p.145 発展5
${\small (1)}~2\sin{4\theta}\cos{\theta}$
${\small (2)}~2\sin{3\theta}\sin{\theta}$

p.145 発展6
$\theta=0~,~{\large \frac{\pi}{2}}~,~\pi~,~{\large \frac{3}{2}}\pi$

練習問題　三角関数

練習問題Ａ

p.146 1
${\small (1)}~-k$　${\small (2)}~-\sqrt{1-k^2}$
${\small (3)}~-{\large \frac{\sqrt{1-k^2}}{k}}$

p.146 2
${\small (1)}~-{\large \frac{5}{18}}$　${\small (2)}~-{\large \frac{\sqrt{14}}{3}}$

p.146 3
[証明]
　(左辺)$$={ \frac{1+\cos{\theta}}{1-\sin{\theta}}}-{ \frac{1-\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}}$$$$={\scriptsize \frac{(1+\cos{\theta})(1+\sin{\theta})-(1-\cos{\theta})(1-\sin{\theta})}{(1-\sin{\theta})(1+\sin{\theta})}}$$$$={ \frac{2\cos{\theta}+2\sin{\theta}}{1-\sin^2{\theta}}}$$$$={ \frac{2\cos{\theta}+2\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}}}$$$$={ \frac{2+2{\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}}{\cos{\theta}}}$$$$={ \frac{2(1+\tan{\theta})}{\cos{\theta}}}$$したがって、$$~~{ \frac{1+\cos{\theta}}{1-\sin{\theta}}}-{ \frac{1-\cos{\theta}}{1+\sin{\theta}}}$$$$~~~~~~={ \frac{2(1+\tan{\theta})}{\cos{\theta}}}$$[終]

p.146 4
${\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{6}}~,~{\large \frac{5}{6}}\pi$
${\small (2)}~\theta=0~,~{\large \frac{2}{3}}\pi≦\theta≦{\large \frac{4}{3}}\pi$

p.146 5
${\small (1)}~y={\large \frac{1}{2}}\sin{2\theta}$

${\small (2)}~y=-{\large \frac{1}{2}}\cos{2\theta}+{\large \frac{1}{2}}$

p.146 6
${\small (1)}~$[証明]
　$2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ$
これより、
　$\sin{2\theta}$
$=\sin{36^\circ}=\sin{(90^\circ-54^\circ)}$
$=\cos{54^\circ}$
$=\cos{3\theta}$
したがって、
　$\sin{2\theta}=\cos{3\theta}$ [終]

${\small (2)}~{\large \frac{-1+\sqrt{5}}{4}}$

p.146 7
最大値 $2$、最小値 $-2$

p.146 8
$r=2~,~a=3~,~b={\large \frac{\pi}{2}}$

練習問題Ｂ

p.147 9
${\small (1)}~\theta={\large \frac{\pi}{8}}~,~{\large \frac{5}{8}}\pi~,~{\large \frac{9}{8}}\pi~,~{\large \frac{13}{8}}\pi$
${\small (2)}~0≦\theta<{\large \frac{\pi}{3}}~,~{\large \frac{2}{3}}\pi<\theta<2\pi$

p.147 10
${\small (1)}~$最大値 $\sqrt{7}$、最小値 $-\sqrt{7}$
${\small (2)}~$最大値 $1$、最小値 $-2\sqrt{2}-1$

p.147 11
$-{\large \frac{27}{32}}$

p.147 12
${\small (1)}~y={\large \frac{1}{2}}t^2+t-{\large \frac{1}{2}}$
${\small (2)}~-1≦y≦{\large \frac{1}{2}}+\sqrt{2}$

p.147 13
${\small (1)}~$[証明]
$\triangle {\rm ABQ}$ において、
　$\cos{\theta}={\large \frac{{\rm AQ}}{{\rm AB}}}~\Leftrightarrow~{\rm AQ}=\cos{\theta}$
$\triangle {\rm DAP}$ において、
　$\sin{\theta}={\large \frac{{\rm AP}}{{\rm AD}}}~\Leftrightarrow~{\rm AP}=\sin{\theta}$
よって、１辺の長さ ${\rm PQ}$ は、
　${\rm PQ=AQ-AP}=\cos{\theta}-\sin{\theta}$
[終]

${\small (2)}~{\large \frac{\pi}{12}}$

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３章 三角関数

１節 三角関数

２節 加法定理

練習問題 三角関数

３章　三角関数

１節　三角関数

２節　加法定理

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