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東京書籍:Advanced数学Ⅱ

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1章 方程式・式と証明
2章 図形と方程式
3章 三角関数
5章 微分と積分

 



4章 指数関数・対数関数

1節 指数関数

問題 解答
p.150
問1
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{5}}\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{100}}\) \({\small (4)}~-{\large \frac{1}{64}}\)
p.150
問2
\({\small (1)}~a^{-1}\) \({\small (2)}~a^0\)
\({\small (3)}~a^{-5}\) \({\small (4)}~a^{-17}\)
p.151
問3
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{a^3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{x^4}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{b^8}{a^6}}\)
\({\small (4)}~x^{10}y^{15}\)
指数法則の基本
p.152
問4
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~-5\)
\({\small (3)}~4\) \({\small (4)}~-3\)
p.153
問5
\({\small (1)}~\)[証明] \(\left({\sqrt[\large n]{a}}\right)^m=x\) とすると、
  \(x^n\)
 \(=\left\{\left({\sqrt[\large n]{a}}\right)^m\right\}^n\)
 \(=\left\{\left({\sqrt[\large n]{a}}\right)^n\right\}^m\)
 \(=a^m\)
ここで、\(x>0\) であり、\(x\) は \(a^m\) の正の \(n\) 乗根であるので、
 \(x=\sqrt[\large n]{a^m}\)
したがって、
 \(\left({\sqrt[\large n]{a}}\right)^m=\sqrt[\large n]{a^m}\) [終]

\({\small (2)}~\)[証明] \(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=x\) とすると、
  \(x^{mn}\)
 \(=(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^{mn}\)
 \(=\left\{(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}})^m\right\}^n\)
 \(=(\sqrt[\large n]{a})^n\)
 \(=a\)
ここで、\(x>0\) であり、\(x\) は \(a\) の正の \(mn\) 乗根であるので、
 \(x=\sqrt[\large mn]{a}\)
したがって、
 \(\sqrt[\large m]{\sqrt[\large n]{a}}=\sqrt[\large mn]{a}\) [終]

p.153
問6
\({\small (1)}~10\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~\sqrt{6}\) \({\small (4)}~2\sqrt[\large 3]{2}\)
累乗根
p.154
問7
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~81\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{6}}\) \({\small (4)}~{\large \frac{1}{25}}\)
p.154
問8
\({\small (1)}~a^{\large \frac{1}{5}}\) \({\small (2)}~a^{\large \frac{5}{3}}\)
\({\small (3)}~a^{-\large \frac{3}{2}}\) \({\small (4)}~a^{-{\large \frac{7}{3}}}\)
指数法則の拡張
p.155
問9
\({\small (1)}~7\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{2}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{5}{3}}\)
p.155
問10
\({\small (1)}~\sqrt[\large 8]{a}\) \({\small (2)}~\sqrt{b}\)
指数法則を用いた計算
p.156
問11
\(2^{-{\large \frac{5}{2}}}=0.18\)
\(2^{{\large \frac{5}{2}}}=5.66\)
p.156
問12
p.157
問13

指数関数のグラフ
p.158
問14
\({\small (1)}~\sqrt[\large 3]{9}<\sqrt[\large7 ]{283}<\sqrt[\large 5]{81}\)
\({\small (2)}~\sqrt[\large 4]{{\large \frac{1}{8}}}<\sqrt[\large 3]{{\large \frac{1}{4}}}<\sqrt{{\large \frac{1}{2}}}\)
指数の大小比較
p.159
問15
\({\small (1)}~x={\large \frac{2}{3}}\) \({\small (2)}~x=-2\)
指数方程式
p.159
問16
\({\small (1)}~x=0\) \({\small (2)}~x=-1~,~2\)
指数関数を含む2次方程式
p.160
問17
\({\small (1)}~x<{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~x<0~,~1<x\)
指数不等式
指数関数を含む2次不等式
問題
p.161
1
\({\small (1)}~384\) \({\small (2)}~100\)
p.161
2
\({\small (1)}~a^2\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{x^3}}\)
p.161
3
\({\small (1)}~7\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (4)}~12\)
p.161
4
\({\small (1)}~\sqrt{a}\) \({\small (2)}~a-b\)
\({\small (3)}~a-b\)
p.161
5
\(\sqrt{2}<\sqrt[\large 3]{3}\)
p.161
6
p.161
7
\({\small (1)}~\)
\(9^{{\large \frac{1}{3}}}<\sqrt[\large 4]{27}<\sqrt[\large 6]{3^5}\)
\({\small (2)}~\)
\(\sqrt[\large 3]{2}<\sqrt[\large 8]{8}<\sqrt[\large 5]{4}<\sqrt[\large 9]{16}<\sqrt{2}\)
p.161
8
\({\small (1)}~x=-{\large \frac{3}{2}}\) \({\small (2)}~x=-1\)
p.161
9
\({\small (1)}~0<x<3\)
\({\small (2)}~x≧-1\) \({\small (3)}~x≧2\)



2節 対数関数

問題 解答
p.162
問1
\({\small (1)}~\log_{3}9=2\)
\({\small (2)}~\log_{5}125=3\)
\({\small (3)}~\log_{2}{\large \frac{1}{4}}=-2\)
指数と対数
p.162
問2
\({\small (1)}~3^4=81\) \({\small (2)}~25^{{\large \frac{1}{2}}}=5\)
\({\small (3)}~2^{-4}={\large \frac{1}{16}}\)
p.163
問3
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~0\) \({\small (3)}~1\)
対数の値
p.13
問4
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
 \(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
 \({\large \frac{M}{N}}={\large \frac{a^p}{a^q}}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
 \(\log_{a}{\large \frac{M}{N}}=p-q\)
したがって、
 \(\log_{a}{\large \frac{M}{N}}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]
p.164
問5
\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~-1\) \({\small (4)}~-{\large \frac{1}{2}}\)
対数の計算
p.164
問6
\({\small (1)}~-3p-2q\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{2}}(q-1)\)
\({\small (3)}~-2p+q+2\)
p.165
問7
\({\small (1)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{3}{4}}\) \({\small (3)}~-{\large \frac{5}{2}}\)
対数関数の式の値
p.165
問8
\({\small (1)}~-2\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~{\large \frac{1}{3}}\)
底の変換公式
p.167
問9

対数関数のグラフ
p.167
問10
\(x\) 軸で対称
p.167
問11
\({\small (1)}~\log_{4}\sqrt{7}<\log_{4}\sqrt{8}<\log_{4}3\)
\({\small (2)}~\log_{0.5}5<\log_{0.5}2<\log_{0.5}0.1\)
対数の大小比較
p.168
問12
\({\small (1)}~x=11\) \({\small (2)}~x=-{\large \frac{8}{9}}\)
p.168
問13
\({\small (1)}~x=5\) \({\small (2)}~x=1\)
対数方程式
p.169
問14
\({\small (1)}~-2<x≦7\)
\({\small (2)}~x<-6\)
p.169
問15
\({\small (1)}~4<x<8\)
\({\small (2)}~1<x≦3\)
対数不等式
p.170
問16
\(x=8\) で最大値 \(0\)
\(x=2\) で最小値 \(-4\)
対数含む関数の最大値・最小値
p.171
問17
\(2.0792\)
p.171
問18
\(15\) 桁
常用対数(桁数問題・小数第何位)
p.172
問19
小数第 \(10\) 位
常用対数(桁数問題・小数第何位)
p.172
問20
\(12\) 回
問題
p.173
10
\({\small (1)}~-3\) \({\small (2)}~-{\large \frac{2}{3}}\) \({\small (3)}~-4\)
p.173
11
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{2}}\) \({\small (3)}~4\)
\({\small (4)}~{\large \frac{8}{3}}\) \({\small (5)}~5\)
p.173
12
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{3}}(p+2q)\) \({\small (2)}~{\large \frac{1-q}{3p+q}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{2(2p+q)}{1-p}}\)
p.173
13
\({\small (1)}~y\) 軸方向に \(2\) 平行移動
\({\small (2)}~x\) 軸に関して対称
指数関数と対数関数のグラフの位置関係
p.173
14
\({\large \frac{1}{2}}\log_{6}5<{\large \frac{1}{2}}<-\log_{6}{\large \frac{1}{3}}\)
p.173
15
\({\small (1)}~x=3\) \({\small (2)}~0<x<6\)
p.173
16
\(14\) 桁
p.173
17
[証明] 底の変換公式より、
 (左辺)
\(=\log_{a}b\cdot{\large \frac{\log_{a}c}{\log_{a}b}}\cdot{\large \frac{\log_{a}a}{\log_{a}c}}=1\)
したがって、
\(\log_{a}b\cdot\log_{b}c\cdot\log_{c}a=1\)
[終]



練習問題 指数関数・対数関数

問題 解答
練習問題A
p.174
1
\({\small (1)}~14\) \({\small (2)}~194\)
p.174
2
\(8\) 分 \(20\) 秒
p.174
3
\({\small (1)}~ab^2\) \({\small (2)}~a+b\)
\({\small (3)}~{\large \frac{5}{4}}\) \({\small (4)}~1\) \({\small (5)}~2\)
p.174
4
\(\log_{3}5<\log_{4}8<\log_{2}3\)
p.174
5
\({\small (1)}~x=0~,~1\) \({\small (2)}~x={\large \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\({\small (3)}~x={\large \frac{1}{3}}~,~27\)
p.174
6
\({\small (1)}~1<x<3\)
\({\small (2)}~\)
 \(-{\large \frac{5}{3}}<x<0~,~{\large \frac{5}{6}}<x<{\large \frac{5}{2}}\)
p.174
7
[証明]
\(2^7=128~,~2^8=256~,~3^5=243\) より、
 \(2^7<3^5<2^8\)
底が \(2\) の対数をとると、
 \(7<5\log_{2}3<8\)
それぞれの辺を \(5\) で割ると、
 \(1.4<\log_{2}3<1.6\) [終]
p.174
8
1時間ごとに2倍の割合で増殖するバクテリア
練習問題B
p.175
9
\(2\sqrt{17}\)
p.175
10
[証明]
\(a^{\log_{a}M}=x\) として、両辺に底が \(a\) の対数をとると、
 \(\log_{a}a^{\log_{a}M}=\log_{a}x\)
 \(~\Leftrightarrow~\log_{a}M\cdot\log_{a}a=\log_{a}x\)
 \(~\Leftrightarrow~\log_{a}M=\log_{a}x\)
よって、\(x=M\) となり、
 \(a^{\log_{a}M}=M\) [終]

\({\small (1)}~27\) \({\small (2)}~{\large \frac{1}{16}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{1}{9}}\)

p.175
11
\(2^{100}<5^{50}<3^{75}\)
p.175
12
\({\small (1)}~\)
 \(x=1\) で最大値 \(3\)
 \(x=0\) で最小値 \(-1\)
\({\small (2)}~\)
 \(x={\large \frac{1}{4}}\) で最大値 \(4\)
 \(x=16\) で最小値 \(-5\)
p.175
13
\({\small (1)}~0<x<8\)
\({\small (2)}~x=4\) で最大値 \(4\)
p.175
14
[証明] \(2^x=5^y=10^z=t\) とすると、
 \(x=\log_{2}t\)
 \(y=\log_{5}t={\large \frac{\log_{2}t}{\log_{2}5}}\)
 \(z=\log_{10}t={\large \frac{\log_{2}t}{\log_{2}10}}\)
ここで、
  \({\large \frac{1}{x}}+{\large \frac{1}{y}}\)
 \(={\large \frac{1}{\log_{2}t}}+{\large \frac{\log_{2}5}{\log_{2}t}}\)
 \(={\large \frac{\log_{2}2+\log_{2}5}{\log_{2}t}}\)
 \(={\large \frac{\log_{2}2\times5}{\log_{2}t}}\)
 \(={\large \frac{\log_{2}10}{\log_{2}t}}\)
 \(={\large \frac{1}{z}}\)
したがって、
 \({\large \frac{1}{x}}+{\large \frac{1}{y}}={\large \frac{1}{z}}\) [終]
p.175
15
[証明]
\(a<b\) より、底が \(a\) の対数をとると、
 \(\log_{a}a<\log_{a}b\)
  \(~\Leftrightarrow~1<\log_{a}b\)
\(\log_{a}b>0\) より、これを両辺にかけると、
 \(\log_{a}b<(\log_{a}b)^2\) …①

次に、\(b<a^2\) より、底が \(a\) の対数をとると、
 \(\log_{a}b<\log_{a}a^2\)
  \(~\Leftrightarrow~\log_{a}b<2\)
\(\log_{a}b>0\) より、これを両辺にかけると、
 \((\log_{a}b)^2<2\log_{a}b\)
よって、
 \((\log_{a}b)^2<\log_{a}b^2\) …②

したがって、①と②より、
\(\log_{a}b<(\log_{a}b)^2<\log_{a}b^2\)
[終]

p.175
16
\({\small (1)}~13\) 桁
\({\small (2)}~2\)

 



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