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東京書籍:Advanced数学Ⅱ

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1章 方程式・式と証明
2章 図形と方程式
3章 三角関数
4章 指数関数・対数関数

 



5章 微分と積分

1節 微分係数と導関数

問題 解答
p.178
問1
\(7\) m/s
p.179
問2
\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~19\)
p.179
問3
\({\small (1)}~-2+h\) \({\small (2)}~2a-4+h\)
平均変化率
p.180
問4
\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~-2\)
極限値
p.181
問5
\(6\) m/s
p.181
問6
\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~-8\) \({\small (3)}~4a\)
微分係数
p.182
問7
\(-4\)
p.184
問8
  \(f'(x)\)
 \(=\lim_{h\to 0}{\large \frac{(x+h)^2+7-(x^2+7)}{h}}\)
 \(=\lim_{h\to 0}{\large \frac{x^2+2xh+2h^2+7-x^2-7}{h}}\)
 \(=\lim_{h\to 0}{\large \frac{2xh+h^2}{h}}\)
 \(=\lim_{h\to 0}(2x+h)\)
 \(=2x\)
導関数
p.185
問9
\(y’=4x^3\)
p.185
問10
\(y’=0\)
p.185
問11
\(y’=-12x^2\)
p.186
問12
\(y’=3x^2-1\)
微分の計算
p.186
問13
[証明]
 (左辺)
\(=\{kf(x)+lg(x)\}’\)
\(=\{kf(x)\}’+\{lg(x)\}’\)
\(=kf'(x)+lg'(x)\)
したがって、
\(\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)\)
[終]
p.187
問14
\({\small (1)}~y’=-2\)
\({\small (2)}~y’=-6x+1\)
\({\small (3)}~y’=15x^2-8\)
\({\small (4)}~y’=x^2-x-3\)
\({\small (5)}~y’=-12x^2+12x+7\)
p.187
問15
\({\small (1)}~y’=6x+14\)
\({\small (2)}~y’=8x+12\)
\({\small (3)}~y’=3x^2+4x+1\)
\({\small (4)}~y’=3x^2-6x+3\)
微分の計算
p.188
問16
\(f'(2)=32~,~f'(-1)=11\)
p.188
問17
\(a=-2\)
2次関数の決定(微分係数の利用)
p.188
問18
\({\small (1)}~{\large \frac{dh}{dt}}=10-10t\)
\({\small (2)}~{\large \frac{dS}{dr}}=2\pi r\)
問題
p.189
1
\({\small (1)}~-6\) \({\small (2)}~4\)
p.189
2
\({\small (1)}~-3\) \({\small (2)}~17\)
\({\small (3)}~-4a+5\)
p.189
3
\({\small (1)}~y’=3x^2-12x\)
\({\small (2)}~y’=7-9x^2\)
\({\small (3)}~y’=50x-10\)
\({\small (4)}~y’=36x^2+16x-3\)
p.189
4
\(a=3\)
p.189
5
\({\small (1)}~{\large \frac{ds}{dt}}=v-gt\)
\({\small (2)}~{\large \frac{dV}{dr}}=4\pi r^2\)
p.189
6
\(c={\large \frac{a+b}{2}}\)
p.189
7
\(a=1~,~b=2\)
p.189
8
\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
 \(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) ならば \(y’=2a(ax+b)\) [終]

\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、
 \(y’=3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\)
 \(~~=3a(a^2x^2+2abx+b^2)\)
 \(~~=3a(ax+b)^2\)
したがって、
\(y=(ax+b)^3\) ならば \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]

p.190
発展1
\({\small (1)}~-7\) \({\small (2)}~5\)
p.191
発展2
\({\small (1)}~39\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~4\) \({\small (4)}~-1\)



2節 導関数の応用

問題 解答
p.192
問1
\(y=3x-8\)
p.192
問2
\(y=-3x-5\)
接線の方程式①
p.193
問3
\(y=4x-3~,~y=-8x-15\)
接線の方程式②(外部の点から引いた接線)
p.195
問4
\({\small (1)}~\)
 \(x≦0\) で減少
 \(0≦x≦4\) で増加
 \(x≧4\) で減少
\({\small (2)}~\)
 \(x≦-{\large \frac{1}{2}}\) で増加
 \(-{\large \frac{1}{2}}≦x≦{\large \frac{1}{2}}\) で減少
 \(x≧{\large \frac{1}{2}}\) で増加
p.197
問5
\({\small (1)}~\)
 極大値なし
 \(x=3\) で極小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)
 \(x=-1\) で極大値 \(5\)
 \(x=3\) で極小値 \(-27\)
p.197
問6
\({\small (1)}~\)

\({\small (2)}~\)

3次関数のグラフと増減表
p.198
問7
極値をもたない
p.199
問8
\({\small (1)}~\)
 \(x=-2\) で極小値 \(-{\large \frac{8}{3}}\)
 \(x=0\) で極大値 \(0\)
 \(x=1\) で極小値 \(-{\large \frac{5}{12}}\)

\({\small (2)}~\)
 極大値なし
 \(x={\large \frac{3}{2}}\) で極小値 \(-{\large \frac{27}{16}}\)

4次関数のグラフと増減表
p.199
問9
\(a={\large \frac{3}{2}}~,~b=6\)
\(x=2\) で極大値 \(10\)
\(x=-1\) で極小値 \(-{\large \frac{7}{2}}\)
極値の条件と関数の決定
p.200
問10
\({\small (1)}~\)
 \(x=-1\) で最大値 \(3\)
 \(x=-2\) で最小値 \(-4\)
\({\small (2)}~\)
 \(x=-2\) で最大値 \(43\)
 \(x=-{\large \frac{1}{2}}\) で最小値 \(-{\large \frac{17}{4}}\)
3次関数の最大値・最小値
p.201
問11
半径 \(20\) cm、高さ \(10\) cm
p.202
問12
\({\small (1)}~\)3個 \({\small (2)}~\)2個
3次方程式の解の個数①
p.203
問13
\(a<-1~,~0<a\) のとき、1個
\(a=-1~,~0\) のとき、2個
\(-1<a<0\) のとに、3個
3次方程式の解の個数②(定数分離法)
p.204
問14
[証明]
\(f(x)=(x^3+2)-3x\) とすると、
 \(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)
よって、\(x≧0\) での増減表は

\(x\) \(0\) \(\cdots\) \(1\) \(\cdots\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) \(2\) ↘︎ \(0\) ↗︎

よって、\(x≧0\) で最小値が \(0\) であるので、
 \(f(x)≧0\)
したがって、\(x≧0\) のとき
 \(x^3+2≧3x\)
また、等号が成り立つときは \(x=1\) のとき [終]
3次不等式の証明

問題
p.205
9
\(y=8x-21\)
p.205
10
\(y=3x-2~,~y=3x+2\)
p.205
11
\(a=1\)
p.205
12
\(a=6~,~b=-15\)
p.205
13
\(a<-3~,~3<a\)
p.205
14
\(x=4\) で最大値 \(16\)
p.205
15
\(a<-18~,~{\large \frac{14}{27}}<a\) のとき1個
\(a=-18~,~{\large \frac{14}{27}}\) のとき2個
\(-18<a<{\large \frac{14}{27}}\) のとき3個
p.205
16
\(a>2\)
p.205
17
\(a>27\)



3節 積分

問題 解答
p.207
問1
\({\large \frac{1}{5}}x^5+C\) ( \(C\) は積分定数 )
p.208
問2
\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~-2x+C\)
\({\small (2)}~x^2-3x+C\)
\({\small (3)}~x^3-{\large \frac{5}{2}}x^2-x+C\)
p.208
問3
\(C\) は積分定数
\({\small (1)}~{\large \frac{25}{3}}x^3-4x+C\)
\({\small (2)}~3x^3-6x^2+4x+C\)
\({\small (3)}~{\large \frac{8}{3}}t^3+3t^2-9t+C\)
不定積分
p.209
問4
\(F(x)={\large \frac{1}{3}}x^3+{\large \frac{1}{2}}x^2-2x+1\)
不定積分と関数の決定
p.209
問5
\(f(x)=-2x^3+x^2\)
接線の傾きの条件と関数の決定
p.211
問6
\({\small (1)}~{\large \frac{2}{3}}\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~-14\) \({\small (4)}~{\large \frac{31}{3}}\)
p.212
問7
\({\small (1)}~{\large \frac{21}{2}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{44}{3}}\)
定積分の計算
p.213
問8
\({\small [4]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、
  \(\int_{a}^{a}f(x)dx\)
 \(=\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\)
 \(=F(a)-F(a)=0\)
したがって、
 \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\) [終]

\({\small [5]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の1つを \(F(x)\) とすると、
  \(\int_{b}^{a}f(x)dx\)
 \(=\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\)
 \(=F(a)-F(b)\)
 \(=-\left(F(b)-F(a)\right)\)
 \(=-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\)
 \(=-\int_{a}^{b}f(x)dx\)
したがって、
 \(\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx\) [終]

p.213
問9
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~18\)
定積分の計算
p.214
問10
\(f(x)=3x-4\)
定積分を含む式
p.215
問11
\(4x^2-x+2\)
定積分で表された関数
p.215
問12
\(f(x)=2x-3~,~a=-1~,~4\)
p.215
問13
\(f(x)=3x^2+4~,~a=4\)
定積分で表された関数
p.218
問14
\(6\)
p.218
問15
\({\small (1)}~{\large \frac{4}{3}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{9}{2}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{2}{3}}\)
定積分と面積①(x軸と囲まれた面積)
p.219
問16
\({\large \frac{33}{2}}\)
定積分と面積③(区間付きの面積)
p.219
問17
\(8\)
p.221
問18
\({\small (1)}~{\large \frac{1}{6}}\) \({\small (2)}~{\large \frac{9}{2}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{32}{3}}\)
定積分と面積②(2つの関数で囲まれた面積)
p.222
問19
\({\large \frac{22}{3}}\)
絶対値を含む関数の定積分
p.223
参考1
\({\large \frac{32}{3}}\)
問題
p.224
18
\(a=2~,~f(x)={\large \frac{1}{3}}x^3-x^2+1\)
p.224
19
\(p=6~,~q=-4\)
p.224
20
\(f(x)=x^2-x-2\)
p.224
21
\(f(x)=3x^2-10x-21\)
p.224
22
\({\small (1)}~36\) \({\small (2)}~{\large \frac{125}{2}}\) \({\small (3)}~{\large \frac{8\sqrt{2}}{3}}\)
p.224
23
\({\large \frac{1}{2}}\)
p.224
24
\(3:2\)
p.224
25
\({\large \frac{46}{3}}\)
p.225
参考1
\({\small (1)}~y’=12(3x+5)^3\)
\({\small (2)}~y’=-5(1-x)^4\)
p.225
参考2
\({\large \frac{1}{4}}(x-3)^4+C\) ( \(C\) は積分定数 )
p.225
参考3
\({\large \frac{11}{5}}\)
p.226
参考1
\({\small (1)}~y=3x~,~y=-5x\)
\({\small (2)}~{\large \frac{4}{3}}\)
p.226
参考2
\({\large \frac{4}{3}}\)



練習問題 微分と積分

問題 解答
練習問題A
p.228
1
\(a=4~,~b=-1\)
p.228
2
\(a=1~,~b=2\)
\(x=0\) のとき、極小値 \(2\)
p.228
3
\(0≦a≦3\)
p.228
4
\(-2<a<0\)
p.228
5
\(a≧{\large \frac{2}{9}}\)
p.228
6
\(y=-x~,~y={\large \frac{1}{4}}x+{\large \frac{5}{12}}\)
\(y=7x+{\large \frac{8}{3}}\)
p.228
7
\(f(x)=x^2-{\large \frac{8}{3}}x\)
p.228
8
\(a=3\)
練習問題B
p.229
9
\(f(x)=-{\large \frac{1}{2}}x^3+{\large \frac{9}{2}}x^2-12x+13\)
p.229
10
\({\small (1)}~\)
 \(x=1\) で極大値 \(4\)
 \(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(0<a<1\) のとき
 \(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
\(1≦a<4\) のとき
 \(x=1\) で最大値 \(4\)
\(a=4\) のとき
 \(x=1~,~4\) で最大値 \(4\)
\(a>4\) のとき
 \(x=a\) で最大値 \(a(a-3)^2\)
p.229
11
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=2\) で極小値 \(-4\)
p.229
12
\(a=1\)
p.229
13
\(y=2x-1~,~{\large \frac{16}{3}}\)
p.229
14
[証明] \(f(x)=px+q\) とすると、
 (左辺)
\(=\left\{{\Large [} {\large \frac{p}{2}}x^2+qx {\Large ]}_{0}^{1}\right\}^2\)
\(=\left({\large \frac{p}{2}}+q\right)^2\)
\(={\large \frac{p^2}{4}}+pq+q^2\)
 (右辺)
\(=\int_{0}^{1}(p^2x^2+2pqx+q^2)dx\)
\(={\Large [} {\large \frac{p^2}{3}}x^3+pqx^+q^2x {\Large ]}_{0}^{1}\)
\(={\large \frac{p^2}{3}}+pq+q^2\)
よって、
 (右辺)\(-\)(左辺)
\(=\left({\large \frac{p^2}{3}}+pq+q^2\right)\)
  \(-\left({\large \frac{p^2}{4}}+pq+q^2\right)\)
\(={\large \frac{p^2}{12}}>0\)
したがって、
 \(\left\{\int_{0}^{1}(px+q)dx\right\}^2\)
   \(<\int_{0}^{1}(px+q)^2dx\)
[終]
p.229
15
\(0<t<2\) のとき、\(t^2-2t+2\)
\(t≧2\) のとき、\(2t-2\)