数研出版：改訂版数学Ⅱ

p.38
練習1
\({\small (1)}~\)実部 \(-2\)、虚部 \(-3\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-{\large \frac{2}{3}}\)、虚部 \({\large \frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(-4\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(5\)

p.39
練習2
\({\small (1)}~x=-3~,~y=-3\)
\({\small (2)}~x=2~,~y=-3\)
→ 複素数の相等

p.39
練習3
\({\small (1)}~10-i\)　\({\small (2)}~-3+i\)
\({\small (3)}~12+5i\)　\({\small (4)}~-8-6i\)
\({\small (5)}~25\)　　\({\small (6)}~-i\)
→ 複素数の計算

p.40
練習4
\({\small (1)}~3-2i\)　\({\small (2)}~-4+5i\)
\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\)　\({\small (4)}~-5\)
→ 共役な複素数と式の値

p.40
練習5
\({\small (1)}~1-2i\)　\({\small (2)}~-{\large \frac{1}{5}}+{\large \frac{3}{5}}i\)
\({\small (3)}~{\large \frac{5}{13}}-{\large \frac{12}{13}}i\)
→ 分数と複素数

p.41
練習6
\({\small (1)}~-12\)　\({\small (2)}~-\sqrt{3}i\)
\({\small (3)}~3\)　\({\small (4)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}i\)
→ 負の数の平方根

p.42
練習7
\({\small (1)}~{\large \frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}}\)　\({\small (2)}~{\large \frac{7\pm\sqrt{11}i}{6}}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{3\pm\sqrt{5}i}{2}}\)　\({\small (4)}~5\pm i\)
→ ２次方程式の虚数解

p.44
練習8
\({\small (1)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解

p.44
練習9
\(-{\large \frac{1}{3}}<m<1\) のとき、
　　　異なる２つの実数解
\(m=1~,~-{\large \frac{1}{3}}\) のとき、重解
\(m<-{\large \frac{1}{3}}~,~1<m\) のとき、
　　　異なる２つの実数解
→ 複素数範囲での２次方程式の解の条件

p.45
練習10
\({\small (1)}~\)和 \(-3\)、積 \(-5\)　\({\small (2)}~\)和 \({\large \frac{5}{2}}\)、積 \({\large \frac{7}{2}}\)
\({\small (3)}~\)和 \({\large \frac{7}{3}}\)、積 \({\large \frac{4}{3}}\)　\({\small (4)}~\)和 \(0\)、積 \({\large \frac{2}{3}}\)

p.46
練習11
\({\small (1)}~36\)　\({\small (2)}~-11\)　\({\small (3)}~13\)
→ ２次方程式の解と係数の関係

p.46
練習12
\(m=1\)、解は \(-{\large \frac{1}{2}}~,~-1\)

p.46
練習13
\(m=4\)、解は \(-{\large \frac{3}{2}}~,~{\large \frac{1}{2}}\)
または
\(m=-4\)、解は \({\large \frac{3}{2}}~,~-{\large \frac{1}{2}}\)
→ ２つの解の条件と解と係数の関係

p.47
練習14
\({\small (1)}~(x+4-\sqrt{11})(x+4+\sqrt{11})\)
\({\small (2)}~2\left(x-{\large \frac{5+\sqrt{17}}{2}}\right)\left(x-{\large \frac{5-\sqrt{17}}{2}}\right)\)
\({\small (3)}~2\left(x+{\large \frac{3-\sqrt{7}i}{4}}\right)\left(x+{\large \frac{3+\sqrt{7}i}{4}}\right)\)
→ 複素数範囲での因数分解

p.48
練習15
\({\small (1)}~x^2-x-12=0\)
\({\small (2)}~x^2-2x-1=0\)
\({\small (3)}~x^2+4x+5=0\)
→ 解が与えられた２次方程式

p.48
問1
\(1+\sqrt{2}i~,~1-\sqrt{2}i\)

p.48
練習16
\({\small (1)}~{\large \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}~,~{\large \frac{1-\sqrt{3}i}{2}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{-5+\sqrt{13}}{2}}~,~{\large \frac{-5-\sqrt{13}}{2}}\)

p.49
練習17
\({\small (1)}~x^2-x+8=0\)
\({\small (2)}~2x^2+3x+5=0\)
\({\small (3)}~4x^2+11x+25=0\)
→ 解が与えられた２次方程式

p.50
練習18
\({\small (1)}~-3<m<-2\)
\({\small (2)}~m>6\)
\({\small (3)}~m<-3\)
→ ２次方程式の解の符号

p.51
練習19
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~-41\)

p.51
問2
[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
　\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-{\large \frac{b}{a}}\) を代入すると、$$~~~~~~P\left(-{ \frac{b}{a}}\right)$$$$~=(-b+b)Q\left(-{\frac{b}{a}}\right)+R$$$$~=0+R=R$$したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-{\large \frac{b}{a}}\right)\) に等しい [終]

p.51
練習20
\({\small (1)}~-4\)　\({\small (2)}~{\large \frac{134}{27}}\)
→ 剰余の定理

p.52
練習21
\(a=2\)

p.52
練習22
\(-3x-2\)
→ 剰余の定理と余りの決定

p.53
練習23
\({\small (1)}~(x-1)(x-2)(x+3)\)
\({\small (2)}~(x+1)(2x-3)(x-3)\)
\({\small (3)}~(x-2)(x+3)(x+4)\)
\({\small (4)}~(x+2)(2x-1)(x-3)\)
→ 因数定理を用いる因数分解

p.53
問3
\(a=3\)

p.53
練習24
\(a=-1~,~2\)

p.55
練習25
\({\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-1~,~{\large \frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}}\)
→ 高次方程式の解①（３次方程式）

p.55
問4
\({\small (1)}~\)[証明] １の３乗根のうち虚数であるものを \(\omega={\large \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{1-2\sqrt{3}i+3i^2}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$$また、 \(\omega={\large \frac{-1-\sqrt{3}i}{2}}\) とすると、$$~\omega^2=\frac{1+2\sqrt{3}i+3i^2}{4}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$したがって、１の３乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]

\({\small (2)}~\)[証明]
　\(x^3-1=0\)
　　\(~\Leftrightarrow~(x-1)(x^2+x+1)=0\)
これより、\(\omega\) は方程式 \(x^2+x+1=0\) の解となるので、
　\(\omega^2+\omega+1=0\) [終]

\({\small (3)}~\)[証明]
\(\omega^3=1\) より、
　\(\omega^4=\omega^3\cdot\omega=1\cdot\omega=\omega\)
これより、
　\(\omega^4+\omega^2+1=\omega+\omega^2+1\)
(2) より、
　\(\omega+\omega^2+1=0\)
したがって、
　\(\omega^4+\omega^2+1=0\) [終]
→ １の３乗根

p.56
練習26
\({\small (1)}~x=\pm\sqrt{5}~,~\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)
→ 高次方程式の解②（４次方程式）

p.56
練習27
\({\small (1)}~x=1~,~{\large \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}}\)
\({\small (2)}~x=-2~,~{\large \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}}\)
\({\small (3)}~x=-2~,~3\)
\({\small (4)}~x=-1~,~-1\pm i\)
→ 高次方程式の解①（３次方程式）

p.57
練習28
\({\small (1)}~x=-1~,~2~,~\pm i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~1\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (4)}~x=1~,~-3\)
→ 高次方程式の解②（４次方程式）

p.58
練習29
\(a=-7~,~b=14\)
他の解 \(4\)

p.59
練習30
\(a=1~,~b=10\)
他の解 \(-2~,~1+2i\)
→ ３次方程式の虚数解

p.60
研究1
[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、$$~\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$$よって、$$~~~~~~\overline {\alpha+\beta}$$$$~=(a+c)-(b+d)i$$$$~=(a-bi)+(c-di)$$$$~=\overline {\alpha}+\overline {\beta}$$[終]

[証明] \(a~,~b~,~c~,~d\) を実数として、\(\alpha=a+bi~,~\beta=c+di\) とすると、$$~~~~~~\overline {\alpha\beta}$$$$~=\overline {(a+bi)(c+di)}$$$$~=(ac-bd)-(ad-bc)i$$また、$$~~~~~~\overline {\alpha}\overline {\beta}$$$$~=(a-bi)(c-di)$$$$~=(ac-bd)-(ad-bc)i$$したがって、$$~~~\overline {\alpha\beta}=\overline {\alpha}\overline {\beta}$$[終]

p.60
研究2
\(a=12~,~b=-10\)

p.60
発展1
\({\small (1)}~9\)　\({\small (2)}~-6\)

p.62
1
\({\small (1)}~-9\sqrt{3}+\sqrt{30}i\)　\({\small (2)}~-2+2i\)
\({\small (3)}~-i\)　\({\small (4)}~{\large \frac{6}{5}}\)

p.62
2
\({\small (1)}~x=3~,~y=2\)
\({\small (2)}~x=2~,~y=-1\)

p.62
3
\({\small (1)}~x={\large \frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i}{2}}\)　\({\small (2)}~x={\large \frac{1\pm\sqrt{2}i}{2}}\)

p.62
4
\(m<-\sqrt{6}~,~\sqrt{6}<m\)

p.62
5
\({\small (1)}~29\)　\({\small (2)}~-{\large \frac{100}{3}}\)　\({\small (3)}~13\)

p.62
6
\(a=-1~,~b=3\)

p.62
7
\({\small (1)}~x=\pm2i~,~\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-2~,~-1~,~{\large \frac{3}{2}}\)

p.62
8
\(4\) cm

p.63
1
\(z=2+i~,~-2-i\)

p.63
2
\(a=-2~,~b=5\)
他の解 \(1-2i\)

p.63
3
\(m<-{\large \frac{1}{3}}~,~0<m<1~,~2<m\)

p.63
4
\(a=-3~,~b=-1\)

p.63
5
\({\small (1)}~x=1~,~-2\pm\sqrt{2}i\)
\({\small (2)}~x={\large \frac{1}{2}}~,~1\pm\sqrt{2}\)
\({\small (4)}~x=\pm2~,~1~,~-3\)

p.63
6
\(9x-17\)

p.63
7
\({\small (1)}~\)[証明] \(x=1+\sqrt{2}i\) より、
　\(x-1=\sqrt{2}i\)
両辺を２乗すると、
　\((x-1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
　\(x^2-2x+1=-2\)
移項すると、
　\(x^2-2x+3=0\) [終]
\({\small (2)}~-27+2\sqrt{2}i\)

p.63
8
\(a=-1~,~b=-3\)
他の解 \(3\)