数研出版：改訂版数学Ａ

p.5
練習1
\({\small (1)}~\in\)　\({\small (2)}~\notin\)　\({\small (3)}~\in\)

p.6
練習2
\({\small (1)}~{\rm F}=\{1,2,3,6,9,18\}\)
\({\small (2)}~{\rm G}=\{10,12,14\}\)
\({\small (3)}~{\rm H}=\{1,3,5,7,\cdots\}\)
→ 集合の表し方と要素

p.7
練習3
\({\small (1)}~{\rm B\subset A}\)
\({\small (2)}~{\rm A=C}\)
\({\small (3)}~{\rm A\subset D}\)

p.8
練習4
\(\phi,\{1\}, \{2\}, \{3\}\)
\(\{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\)
→ 集合の包含関係と部分集合

p.8
練習5
\({\rm A\cap B}=\{5,15\}\)
\({\rm A\cup B}=\{1,3,5,7,9,10,11,13,15\}\)
→ 共通部分と和集合

p.9
問1
\({\rm A\cap B\cap C}=\{3,5\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,7,11\}\)

p.9
練習6
\({\rm A\cap B\cap C}=\{1,2,3,6\}\)
\({\rm A\cup B\cup C}=\{1,2,3,4,5,6,7,9,12,18\}\)

p.10
練習7
\({\small (1)}~\{1,4,6,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,6,7,8,9\}\)
\({\small (3)}~\{1,6,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (5)}~\{4\}\)
\({\small (6)}~\{2,7\}\)
\({\small (7)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (8)}~\{1,3,4,5,6,8,9\}\)
→ 補集合とド・モルガンの法則

p.10
練習8
全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この２つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
　\(\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)

p.10
練習9
[証明]
\({\rm U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
\({\rm A}=\{2,4,6,8\}\)
\({\rm B}=\{3,6,9\}\)
\({\rm \overline {A}}=\{1,3,5,7,9\}\)
\({\rm \overline {B}}=\{1,2,4,5,7,8\}\)
これらより、
　\({\rm A\cup B}=\{2,3,4,6,8,9\}\)
この否定は、
　\({\rm \overline {A\cup B}}=\{1,5,7\}\)
また、
　\({\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{1,5,7\}\)
したがって、
　\({\rm \overline {A\cup B}}={\rm \overline {A}\cap \overline {B}}\)

次に、
　\({\rm A\cap B}=\{6\}\)
この否定は、
　\({\rm \overline {A\cap B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
また、
　\({\rm \overline {A}\cup \overline {B}}=\{1,2,3,4,5,7,8,9\}\)
したがって、
　\({\rm \overline {A\cap B}}={\rm \overline {A}\cup \overline {B}}\)
[終]

p.12
練習1
\(n({\rm A})=4~,~n({\rm B})=3\)

p.13
練習2
\(24\)
→ 集合の要素の個数

p.14
練習3
\({\small (1)}~134\)　\({\small (2)}~27\)

p.15
問1
\(11\)

p.15
練習4
\({\small (1)}~10\)　\({\small (2)}~13\)　\({\small (3)}~5\)
→ 補集合の要素の個数

p.16
研究1
[証明]左辺は、
\(~~~~~~n({\rm A\cup B\cup C})\)
\(~=a+b+c+d+e+f+g\)
また、右辺は、
　\(~n({\rm A})=a+d+g+f\)
　\(+n({\rm B})=b+d+g+e\)
　\(+n({\rm C})=c+f+g+e\)
　\(-n({\rm A\cap B})=-(d+g)\)
　\(-n({\rm B\cap C})=-(g+e)\)
　\(-n({\rm A\cap C})=-(g+f)\)
　\(+n({\rm A\cap B\cap C})=g\)
これらの和は、\(a+b+c++d+e+f+g\)
したがって、
\(~~~~~~n({\rm A\cup B\cup C})\)
\(~=n({\rm A})+n({\rm B})+n({\rm C})\)
\(~~~~~~-n({\rm A\cap B})-n({\rm B\cap C})-n({\rm A\cap C})\)
\(~~~~~~~~~~+n({\rm A\cap B\cap C})\)
[終]

p.16
研究2
\(74\)
→ ３つの集合の要素の個数

p.18
練習5
\(18\)

p.18
練習6
\(21\)

p.19
練習7
\(7\)

p.19
問2
\(9\)

p.19
練習8
\(6\)

p.19
練習9
\(35\)

p.20
問3
\(216\)

p.20
練習10
\(27\)
→ 和の法則と積の法則

p.20
練習11
\({\small (1)}~12\)　\({\small (2)}~12\)

p.21
練習12
\({\small (1)}~12~,~195\)　\({\small (2)}~18~,~868\)
→ 約数の個数と展開式の項の個数

p.23
練習13
\({\small (1)}~504\)　\({\small (2)}~2520\)　\({\small (3)}~6\)
→ 順列と階乗の記号

p.23
練習14
\({\small (1)}~210\)　\({\small (2)}~3024\)

p.24
練習15
\({\small (1)}~120\)　\({\small (2)}~5040\)
\({\small (3)}~40320\)
→ 文字の順列

p.25
練習16
\(1680\)

p.25
練習17
\(720\)

p.26
練習18
\({\small (1)}~144\)　\({\small (2)}~156\)
→ 数字の順列

p.28
練習19
\(120\)
→ 円順列とじゅず順列

p.28
問4
\(12\)

p.28
練習20
\(144\)
→ 条件付き円順列

p.29
練習21
\(64\)

p.29
練習22
\({\small (1)}~243\)　\({\small (2)}~120\)
→ 重複を許す順列

p.29
練習23
\(128\)

p.31
練習24
\({\small (1)}~35\)　\({\small (2)}~15\)　\({\small (3)}~4\)　\({\small (4)}~1\)

p.31
問5
[証明] \(n\) 個のもののなかから \(r\) 個取り出す組合せは、\({}_{n}{\rm C}_{r}\)
\(n\) 個のもののなかに特定の \(a\) があるとき、
(ⅰ) 取り出した \(r\) 個に特定の \(a\) を含む場合
\(a\) は取り出すのが確定しているので、それ以外の \(n-1\) 個のもののなかから \(r-1\) 個取り出せばよいので、$$~~~{}_{n-1}{\rm C}_{r-1}$$(ⅱ) 取り出した \(r\) 個に特定の \(a\) を含まない場合
\(a\) 以外の \(n-1\) 個のもののなかから \(r\) 個取り出せばよいので、$$~~~{}_{n-1}{\rm C}_{r}$$これらは同時に起こらないので和の法則より、$$~~~{}_{n}{\rm C}_{r}={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_{r}$$[終]

p.32
練習25
\({\small (1)}~9\)　\({\small (2)}~21\)　\({\small (3)}~560\)
→ 組合せの記号

p.32
練習26
\(4060\)

p.32
練習27
\({\small (1)}~56\)　\({\small (2)}~70\)　\({\small (3)}~20\)
→ 図形と組合せ

p.33
練習28
\({\small (1)}~210\)　\({\small (2)}~460\)
→ 代表を選ぶ

p.33
練習29
\(60\)
→ 図形と組合せ

p.34
練習30
\({\small (1)}~1680\)　\({\small (2)}~280\)　\({\small (3)}~378\)
→ ３つのグループに分ける

p.35
問6
\(210\)

p.35
練習31
\(3360\)
→ 同じものを含む順列

p.36
練習32
\({\small (1)}~462\)　\({\small (2)}~150\)　\({\small (3)}~312\)
→ 最短経路問題

p.38
研究1
\(120\)

p.38
研究2
\({\small (1)}~286\)　\({\small (2)}~84\)
→ 重複組合せ

p.38
研究3
\({\small (1)}~66\)　\({\small (2)}~36\)
→ 等式を満たす自然数の組合せ

p.39
1
\({\small (1)}~40\)　\({\small (2)}~85\)　\({\small (3)}~25\)　\({\small (4)}~15\)

p.39
2
\(66\)

p.39
3
\({\small (1)}~9\)　\({\small (2)}~27\)　\({\small (3)}~18\)

p.39
4
\({\small (1)}~60480\)　\({\small (2)}~2880\)
\({\small (3)}~43200\)

p.39
5
\({\small (1)}~1440\)　\({\small (2)}~720\)

p.39
6
\(21~,~35\)

p.39
7
\({\small (1)}~7920\)　\({\small (2)}~5775\)
\({\small (3)}~9240\)

p.42
問7
Ａ：\(\{(\) 裏 \(,\) 裏 \()\}\)
Ｂ：\(\{(\) 表 \(,\) 表 \()\}~,~\{(\) 表 \(,\) 裏 \()\}~,~\{(\) 裏 \(,\) 表 \()\}\)

p.42
練習33
\({\small (1)}~\)
\(\{(a_1,a_2), (a_1,b_1), (a_1,b_2), (a_1,b_3), (a_2,b_1)\)
\((a_2,b_2), (a_2,b_3), (b_1,b_2), (b_1,b_3), (b_2,b_3)\}\)
\({\small (2)}~\)
\(\{(a_1,b_1), (a_1,b_2), (a_1,b_3)\)
\((a_2,b_1),(a_2,b_2), (a_2,b_3)\}\)

p.43
練習34
\({\Large \frac{3}{25}}\)

p.44
練習35
\({\Large \frac{1}{2}}\)
→ 確率の基本

p.44
練習36
目の和が \(7\) の事象 \({\Large \frac{1}{6}}\)
→ さいころの確率

p.45
練習37
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{2}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{1}{6}}\)
→ ボールを取り出す確率

p.45
練習38
\({\Large \frac{2}{5}}\)
→ 一列に並べる確率

p.47
問8
\({\rm A\cap B}=\{1,2,3\}\)
\({\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,6\}\)
\({\Large \frac{1}2{}}~,~{\Large \frac{5}{6}}\)

p.47
練習39
\({\Large \frac{1}{6}}~,~{\Large \frac{2}{3}}\)
→ 和事象と排反事象

p.47
練習40
\({\rm A}\) と \({\rm D}\)、\({\rm C}\) と \({\rm D}\)

p.49
練習41
\({\Large \frac{5}{57}}\)

p.49
練習42
\({\Large \frac{7}{36}}\)
→ 和事象と排反事象

p.50
問9
\({\Large \frac{4}{13}}\)

p.50
練習43
\({\Large \frac{2}{9}}\)

p.51
練習44
\({\Large \frac{11}{50}}\)
→ 和事象と排反事象

p.52
練習45
\({\small (1)}~{\Large \frac{11}{36}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{5}{6}}\)
→ 余事象の確率

p.53
練習46
\({\small (1)}~\)独立である
\({\small (2)}~\)独立でない

p.55
練習47
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{3}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{1}{6}}\)

p.55
練習48
\(0.95~\left({\Large \frac{19}{20}}\right)\)

p.56
練習49
\({\small (1)}~{\Large \frac{29}{50}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{21}{50}}\)

p.57
練習50
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{12}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{7}{8}}\)
→ 独立試行の確率

p.59
練習51
\({\Large \frac{625}{3888}}\)
→ 反復試行の確率②（さいころ）

p.59
練習52
\({\small (1)}~{\Large \frac{1053}{3125}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{288}{3125}}\)

p.60
練習53
\({\Large \frac{80}{243}}\)
→ 点が動く確率

p.61
練習54
\({\Large \frac{3}{8}}\)

p.62
練習55
\(0.6~\left({\Large \frac{3}{5}}\right)~,~0.75~\left({\Large \frac{3}{4}}\right)\)
→ 条件付き確率

p.63
練習56
\({\Large \frac{3}{28}}\)

p.64
練習57
\({\Large \frac{1}{21}}\)

p.64
練習58
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{3}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{10}{21}}\)
→ 確率の乗法定理

p.65
練習59
\({\Large \frac{2}{3}}\)

p.65
練習60
\({\small (1)}~{\Large \frac{28}{75}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{47}{75}}\)

p.67
研究1
\({\Large \frac{9}{59}}\)

p.68
8
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{9}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{2}{9}}\)　\({\small (3)}~{\Large \frac{1}{3}}\)

p.68
9
\({\small (1)}~{\Large \frac{12}{65}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{61}{455}}\)　\({\small (3)}~{\Large \frac{12}{13}}\)

p.68
10
\({\small (1)}~{\Large \frac{5}{9}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{7}{9}}\)

p.68
11
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{32}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{31}{32}}\)

p.68
12
\({\Large \frac{716}{729}}\)

p.68
13
\({\Large \frac{21}{128}}\)

p.68
14
\({\Large \frac{18}{35}}\)

p.69
1
\({\small (1)}~19\)　\({\small (2)}~18\)

p.69
2
\(625\)

p.69
3
\({\small (1)}~{\Large \frac{5}{9}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{5}{54}}\)

p.69
4
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{3}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{64}{81}}\)
→ ○勝先取の確率

p.69
5
\({\small (1)}~{\Large \frac{8}{15}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{12}{25}}\)　\({\small (3)}~{\Large \frac{8}{15}}\)

p.69
6
\({\Large \frac{9}{28}}\)

p.70
7
\({\small (1)}~25\)　\({\small (2)}~30142\)

p.70
8
\({\small (1)}~64\)　\({\small (2)}~62\)　\({\small (3)}~31\)

p.70
9
\({\small (1)}~{\Large \frac{125}{216}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{61}{216}}\)

p.70
10
\({\small (1)}~{\Large \frac{1}{24}}\)　\({\small (2)}~{\Large \frac{3}{8}}\)

p.70
11
\({\Large \frac{5}{16}}\)

p.70
12
\({\Large \frac{2}{9}}\)