オンライン家庭教師生徒募集中!詳しくはこちらから!

数研出版:改訂版数学A

スポンサーリンク
スポンサーリンク

文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。

第1章 場合の数と確率
第2章 図形の性質

 



第3章 整数の性質

第1節 約数と倍数

p.118
練習1
\({\small (1)}~\pm1~,~\pm2~,~\pm3\)
     \(~,~\pm6~,~\pm9~,~\pm18\)
\({\small (2)}~6~,~12~,~18~,~24~,~30\)

p.119
練習2
\({\small (1)}~\)[証明]\(a,b\) は3の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
 \(a=3m,b=3n\)
これより、
 \(a+b=3(m+n)\)
\(m+n\) は整数であるので、\(a+b\) は3の倍数である[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a,a-b\) は10の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
 \(a=10m,a-b=10n\)
これより、
 \(~~~~~~b\)
 \(~=a-(a-b)\)
 \(~=10(m-n)\)
\(m-n\) は整数であるので、\(b\) は10の倍数である[終]
約数と倍数

p.120
練習3
下3桁が \(8\) の倍数

p.120
練習4
\(8\)
倍数判別法

p.121
練習5
\({\small (1)}~2^5\cdot3\) \({\small (2)}~3^2\cdot5^2\)
\({\small (3)}~2\cdot3^3\cdot7\) \({\small (4)}~2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2\)
素因数分解

p.122
練習6
\(42\)
約数の個数・平方数

p.122
練習7
\({\small (1)}~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~14~,~28~,~56\)
\({\small (2)}~1~,~2~,~3~,~5~,~6~,~9~,~10\)
\(~~~~~15~,~18~,~30~,~45~,~90\)

p.123
練習8
\({\small (1)}~10\) 個
\({\small (2)}~16\) 個
\({\small (3)}~24\) 個
約数の個数・平方数

p.124
研究1
\(~(x,y)=(-1,-3)~,~(-7,3)\)
   \((-3,7)~,~(3,1)\)

p.124
研究2
\({\small (1)}~(x,y)=(0,2)~,~(-2,4)\)
\({\small (2)}~(x,y)=(5,5)~,~(8,2)~,~(6,3)\)
    \((3,-3)~,~(0,0)~,~(2,-1)\)
等式を満たす整数の組

p.126
練習9
\({\small (1)}~6~,~1260\)
\({\small (2)}~126~,~3780\)
\({\small (3)}~12~,~6300\)
最大公約数と最小公倍数

p.126
練習10
\(20~,~60~,~180\)

p.127
練習11
[証明] \(a+1\) は6の倍数より、整数 \(m\) を用いると、
 \(a+1=6m\)
これより、
 \(~~~~~~a+13\)
 \(~=a+1+12\)
 \(~=6(m+2)\)
\(m+2\) は整数であるので、\(a+1\) は6の倍数である
次に、\(a+4\) は9の倍数より、整数 \(n\) を用いると、
 \(a+4=9n\)
これより、
 \(~~~~~~a+13\)
 \(~=a+4+9\)
 \(~=9(n+1)\)
\(n+1\) は整数であるので、\(a+4\) は9の倍数である
以上より、\(a+13\) は5の倍数と9の倍数の最小公倍数である18の倍数である[終]

p.129
研究1
\(~(a,b)=(12,216)~,~(24,108)\)
最大公約数と最小公倍数の関係式

p.130
練習12
\({\small (1)}~\)商 \(4\)、余り \(5\)
\({\small (2)}~\)商 \(5\)、余り \(3\)
\({\small (3)}~\)商 \(-4\)、余り \(1\)
\({\small (4)}~\)商 \(-6\)、余り \(6\)

p.131
練習13
\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~0\)
除法の性質

p.132
練習14
[証明] 連続する2つの偶数を整数 \(k\) を用いて、\(2k,2k+2\) とする
これらの2乗の差は、
 \(~~~~~~(2k+2)^2-(2k)^2\)
 \(~=8k+4\)
 \(~=4(2k+1)\)
ここで \(2k+1\) は整数より、4の倍数となる
また、\(8k+4\) は8で割ると4余るので8の倍数とならない
したがって、連続する2つの偶数の2乗の差は4の倍数であるが、8の倍数でない [終]

p.133
練習15
[証明] すべての整数を5で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\)
となる
(ⅰ) \(n=5k\) のとき、
 \(n^2=25k^2=5\cdot5k^2\)
よって、5で割った余りは \(0\) となる
(ⅱ) \(n=5k+1\) のとき、
 \(n^2=5(5k^2+2k)+1\)
よって、5で割った余りは \(1\) となる
(ⅲ) \(n=5k+2\) のとき、
 \(n^2=5(5k^2+4k)+4\)
よって、5で割った余りは \(4\) となる
(ⅳ) \(n=5k+3\) のとき、
 \(n^2=5(5k^2+6k+1)+4\)
よって、5で割った余りは \(4\) となる
(ⅴ) \(n=5k+4\) のとき、
 \(n^2=5(5k^2+8k+3)+1\)
よって、5で割った余りは \(1\) となる
したがって、\(n^2\) を5で割ったときの余りは \(0~,~1~,~4\) のいずれかである [終]
整数の分類と証明

p.133
問1
\({\small (1)}~\)[証明] \(n\) を3で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が3の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
 \(n+2=3(k+1)\)
よって、\(n+2\) が3の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
 \(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が3の倍数となる
したがって、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは3の倍数である

\({\small (2)}~\)[証明] (1) より、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは3の倍数であるので、\(n(n+1)(n+2)\) は3の倍数である
\(n\) を2で割ったときの余りで分類し、整数 \(m\) を用いて表すと、
 \(2m~,~2m+1\)
(ⅰ) \(n=2m\) のとき、
よって、\(n\) が2の倍数となる
(ii) \(n=2m+1\) のとき、
 \(n+1=2(m+1)\)
よって、\(n+1\) が2の倍数となる
これより、\(n(n+1)(n+2)\) は2の倍数である
したがって、3の倍数かつ2の倍数であるので、\(n(n+1)(n+2)\) は6の倍数である [終]

p.133
練習16
[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する2つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を3で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が3の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
 \(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が3の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
 \(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が3の倍数となる
(ⅰ)~(ⅲ)のどの場合でも3の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は6の倍数である[終]

p.134
研究1
\(32\) 個

p.135
研究2
\(49\) 個

p.136
研究1
\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~1\)

p.138
発展1
[証明]
\(a\equiv c~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(s\) を用いて、
 \(a-c=ms\) …①
\(b\equiv d~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(t\) を用いて、
 \(b-d=mt\) …②
①-②より、
 (左辺)
\(=(a-c)-(b-d)\)
\(=(a-b)-(c-d)\)
 (右辺)
\(=ms-mt\)
\(=m(s-t)\)
したがって、
 \(a-b\equiv c-d~({\rm mod~} m)\) [終]

p.138
発展2
\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~2\)
\({\small (3)}~9\)

p.138
発展3
\(7\)

p.138
発展4
[証明]
整数 \(n\) は次のように表すことができる
 \(n\equiv 0~({\rm mod~} 3)\)
 \(n\equiv 1~({\rm mod~} 3)\)
 \(n\equiv 2~({\rm mod~} 3)\)
それぞれの場合について、\(n^4\) は
(ⅰ) \(n\equiv 0~({\rm mod~} 3)\) のとき
 \(n^4\equiv 0^4 \equiv 0~({\rm mod~} 3)\)
(ⅱ) \(n\equiv 1~({\rm mod~} 3)\) のとき
 \(n^4\equiv 1^4 \equiv 1~({\rm mod~} 3)\)
(ⅲ) \(n\equiv 2~({\rm mod~} 3)\) のとき
 \(n^4\equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1~({\rm mod~} 3)\)
したがって、\(n^4\) を3で割ったときの余りは \(0~,~1\) のいずれかである [終]

問題

p.139
1
\(2~,~5~,~8\)

p.139
2
\(10~,~40~,~90~,~360\)

p.139
3
\({\small (1)}~1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~9~,~12\)
\(~~~~~~~18~,~27~,~36~,~54~,~108\)
\({\small (2)}~1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~15\)
\(~~~~~~~21~,~35~,~45~,~63~,~105~,~315\)

p.139
4
\(48\) 個

p.139
5
\({\small (1)}~24~,~720\)
\({\small (2)}~45~,~5940\)

p.139
6
\(7~,~14~,~21~,~28~,~42\)
\(63~,~84~,~126~,~252\)

p.139
7
\(3\)

p.139
8
[証明] すべての整数を3で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
 \(~~~~~~n(n^2+2)\)
 \(~=3k(9k^2+2)\)
よって、3の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
 \(~~~~~~n(n^2+2)\)
 \(~=3(3k+1)(3k^2+2k+1)\)
よって、3の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
 \(~~~~~~n(n^2+2)\)
 \(~=3(3k+2)(3k^2+4k+2)\)
よって、3の倍数となる
したがって、\(n(n^2+2)\) は3の倍数である [終]

p.139
9
\(~(x,y)=(4,7)~,~(12,-1)~,~(6,1)\)
\(~~~~~(2,-11)~,~(-6,-3)~,~(0,-5)\)

p.139
10
\(~(a,b)=(12,168)~,~(24,156)\)
\(~~~~~(48,132)~,~(84,96)\)

p.139
11
\(48\)



第2節 ユークリッドの互除法

p.141
練習17
\({\small (1)}~19\) \({\small (2)}~21\)
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~47\)
ユークリッドの互除法

p.144
練習18
\({\small (1)}~x=5~,~y=-7\)
\({\small (2)}~x=6~,~y=-20\)
\({\small (3)}~x=21~,~y=30\)

p.146
練習19
\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=3k-1~,~y=-2k+1\)
\({\small (2)}~x=3k-1~,~y=5k-2\)
\({\small (3)}~x=9k-1~,~y=4k-1\)
不定方程式①

p.147
練習20
\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=29k+18~,~y=-34k-21\)
\({\small (2)}~x=15k-20~,~y=41k-55\)
不定方程式②(互除法)

p.148
練習21
\(1011\)
不定方程式の利用

問題

p.150
12
\({\small (1)}~17\) \({\small (2)}~61\)

p.150
13
\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=7k+3~,~y=-5k-2\)
\({\small (2)}~x=2k+2~,~y=3k+1\)

p.150
14
\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=23k-10~,~y=16k-7\)
\({\small (2)}~x=48k+33~,~y=-35k-24\)

p.150
15
\(957\)



第3節 整数の性質の活用

p.151
練習22
\({\small (1)}~1.125\) \({\small (2)}~1.24\)
\({\small (3)}~0.1\dot{6}\) \({\small (4)}~0.1\dot{2}\dot{7}\)

p.151
練習23
\(8\)

p.154
練習24
\({\large \frac{15}{16}}~,~{\large \frac{11}{40}}~,~{\large \frac{13}{125}}\)
分数と小数

p.156
練習25
\({\small (1)}~21\) \({\small (2)}~142\)
\({\small (3)}~273\) \({\small (4)}~119\)
n進法①(10進法で表す)

p.156
練習26
\({\small (1)}~1000011_{(2)}\)
\({\small (2)}~303_{(5)}\)
\({\small (3)}~7414_{(8)}\)
n進法②(n進法で表す)

p.157
練習27
\({\small (1)}~0.375\) \({\small (2)}~0.512\)

p.158
練習28
\({\small (1)}~0.2132_{(5)}\)
\({\small (2)}~0.1101_{(2)}\)
n進法と小数

p.158
練習29
\({\small (1)}~10111_{(2)}\)
\({\small (2)}~1010_{(2)}\)
\({\small (3)}~110000_{(2)}\)
\({\small (4)}~100100_{(2)}\)
n進法のたし算

p.158
練習30
\({\small (1)}~110_{(2)}\)
\({\small (2)}~11_{(2)}\)
\({\small (3)}~10011_{(2)}\)
\({\small (4)}~1101_{(2)}\)
n進法のひき算

p.159
練習31
\({\small (1)}~11110_{(2)}\)
\({\small (2)}~10000010_{(2)}\)
\({\small (3)}~100100010_{(2)}\)
n進法のかけ算

p.159
練習32
\({\small (1)}~111_{(2)}\)
\({\small (2)}~1011_{(2)}\)

問題

p.160
16
\(6\)

p.160
17
\({\small (1)}~54\) \({\small (2)}~209\)
\({\small (3)}~189\)

p.160
18
\({\small (1)}~10001111_{(2)}\)
\({\small (2)}~31023_{(5)}\)
\({\small (3)}~1110_{(3)}\)
\({\small (4)}~110101_{(2)}\)

p.160
19
\({\small (1)}~0.402_{(5)}\)
\({\small (2)}~0.23_{(4)}\)

p.160
20
\({\small (1)}~1001110_{(2)}\)
\({\small (2)}~10101000_{(2)}\)
\({\small (3)}~11110010_{(2)}\)
\({\small (4)}~1011_{(2)}\)



演習問題 整数の性質

演習問題A

p.161
1
\(59277\)

p.161
2
\(a=45\)

p.161
3
\(159\)

p.161
4
[証明] すべての整数を5で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\)
となる
(ⅰ) \(n=5k\) のとき、
  \(n^2+n+1\)
 \(=5(5k^2+k)+1\)
よって、5の倍数でない
(ⅱ) \(n=5k+1\) のとき、
  \(n^2+n+1\)
 \(=5(5k^2+3k)+3\)
よって、5の倍数でない
(ⅲ) \(n=5k+2\) のとき、
  \(n^2+n+1\)
 \(=5(5k^2+5k+1)+2\)
よって、5の倍数でない
(ⅳ) \(n=5k+3\) のとき、
  \(n^2+n+1\)
 \(=5(5k^2+7k+2)+3\)
よって、5の倍数でない
(ⅴ) \(n=5k+4\) のとき、
  \(n^2+n+1\)
 \(=5(5k^2+9k+4)+1\)
よって、5の倍数でない
したがって、\(n^2+n+1\) は5で割り切れない [終]

p.161
5
\(137\)

p.161
6
\(13\)

p.161
7
みかん \(1\) 個とりんご \(7\) 個
または
みかん \(9\) 個とりんご \(2\) 個

p.161
8
\(5252_{(8)}\)

p.161
9
\({\small (1)}~3102\)
\({\small (2)}~36\) 番目

演習問題B

p.162
10
\(1458\)

p.162
11
\(2~,~6~,~22\)

p.162
12
\({\small (1)}~(x+3y+4)(2x+y+3)\)
\({\small (2)}~x=2~,~y=1\)

p.162
13
\((a,b,c)=(18,60,210)~,~(36,60,210)\)

p.162
14
\({\small (1)}~\)[証明]
\(m~,~n\) を整数とすると、
\(a\) と \(a-b\) の公約数が \(k\) であるので、
 \(a=km~,~a-b=kn\)
これらの式より、
 \(km-b=kn\)
よって、
 \(b=k(m-n)\)
ここで、\(m-n\) は整数より \(k\) は \(b\) の約数である [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(1) より、\(a\) と \(a-b\) の最大公約数を \(k\) とすると、\(k\) は \(a\) と \(b\) の正の公約数となる
\(a\) と \(b\) が互いに素のとき \(k=1\) となり、\(a\) と \(a-b\) の最大公約数も \(k=1\) となる
したがって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]

p.162
15
\(52\)

p.162
16
\({\small (1)}~\) [証明] すべての整数を4で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
 \(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
 \(n^2=4\cdot 4k^2\)
\(n^2\) が4で割り切れるので不適
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
 \(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
\(n^2\) が4で割り切れないで、余りが \(1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
 \(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
\(n^2\) が4で割り切れるので不適
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
 \(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
\(n^2\) が4で割り切れないで、余りが \(1\)
したがって、\(n^2\) が4で割ったときの余りは \(0\) か \(1\) となる [終]

\({\small (2)}~\)[証明] 整数が \(c\) 存在すると仮定すると、
\(a~,~b\) が奇数であるので、整数 \(m~,~n\) を用いて、
 \(a=2m+1~,~b=2n+1\)
\(a^2+b^2\) は、
 \(a^2+b^2\)
\(=(2m+1)^2+(2n+1)^2\)
\(=4m^2+4n^2+4m+4n+2\)
\(=4(m^2+n^2+m+n)+2\)
よって、\(a^2+b^2\) を4で割った余りが \(2\) となる
ここで、(1)より \(c^2\) を4で割ったあまりは \(0\) か \(1\) となることに矛盾する
したがって、 \(a^2+b^2=c^2\) を満たす \(c\) は存在しない [終]