【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅰ[713]

p.130 練習1$${\small (1)}~\sin{\theta}={ \frac{\,2\,}{\,3\,}}~,~\cos{\theta}={ \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}}$$$$~~~~~~\tan{\theta}={ \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}}$$$${\small (2)}~\sin{\theta}={ \frac{\,5\,}{\,13\,}}~,~\cos{\theta}={ \frac{\,12\,}{\,13\,}}$$$$~~~~~~\tan{\theta}={ \frac{\,5\,}{\,12\,}}$$$${\small (3)}~\sin{\theta}={ \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,4\,}}~,~\cos{\theta}={ \frac{\,3\,}{\,4\,}}$$$$~~~~~~\tan{\theta}={ \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,3\,}}$$→ 直角三角形と三角比

p.130 練習2

	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin{}\)	\({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)	\({\large \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}\)	\({\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\)
\(\cos{}\)	\({\large \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\)	\({\large \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}\)	\({\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\)
\(\tan{}\)	\({\large \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

→ 三角比の値（鋭角）

p.131 練習3$${\small (1)}~0.2079$$$${\small (2)}~0.6691$$$${\small (3)}~3.7321$$

p.131 練習4$${\small (1)}~24^\circ$$$${\small (2)}~27^\circ$$

p.132 練習5$$~~~95~{\rm m}$$

p.133 練習6$$~~~32~{\rm m}$$

p.135 練習7$$~~~\sin{\theta}={ \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}}~,~\tan{\theta}=2\sqrt{2}$$

p.135 練習8$$~~~\cos{\theta}={ \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}~,~\sin{\theta}={ \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}}$$→ 三角比の相互関係の公式（鋭角）

p.136 練習9$${\small (1)}~28^\circ$$$${\small (2)}~12^\circ$$$${\small (3)}~67^\circ$$

p.136 練習10$${\small (1)}~\cos{26^\circ}$$$${\small (2)}~\sin{32^\circ}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,1\,}{\,\tan{7^\circ}\,}}$$→ 余角の公式

p.136 深める\(\theta\) が \(0^\circ\) から \(90^\circ\) の \(\sin{\theta}\) と \(\cos{\theta}\) の値は、\(\theta=45^\circ\) の値を基準として対称的に並ぶ

p.138 練習11$${\small (1)}~r=\sqrt{2}~,~(-1,1)$$$$~~~\sin{135^\circ}={ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}~,~\cos{135^\circ}=-{ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}}$$$$~~~\tan{135^\circ}=-1$$$${\small (2)}~r=2~,~(-\sqrt{3},1)$$$$~~~\sin{150^\circ}={ \frac{\,1\,}{\,2\,}}~,~\cos{150^\circ}=-{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}$$$$~~~\tan{150^\circ}=-{ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}}$$→ 三角比の拡張

p.140 練習12$${\small (1)}~0.6428$$$${\small (2)}~-0.9135$$$${\small (3)}~-5.6713$$→ 補角の公式

p.141 練習13$${\small (1)}~60^\circ~,~120^\circ$$$${\small (2)}~120^\circ$$$${\small (3)}~0^\circ~,~180^\circ$$

p.142 練習14$${\small (1)}~45^\circ$$$${\small (2)}~150^\circ$$→ 三角比と方程式

p.143 練習15\(0^\circ< \theta < 90^\circ\) のとき$$~~~\cos{\theta}={ \frac{\,3\,}{\,5\,}}~,~\tan{\theta}={ \frac{\,4\,}{\,3\,}}$$\(90^\circ< \theta < 180^\circ\) のとき$$~~~\cos{\theta}=-{ \frac{\,3\,}{\,5\,}}~,~\tan{\theta}=-{ \frac{\,4\,}{\,3\,}}$$

p.143 練習16$${\small (1)}~\sin{\theta}={ \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}}~,~\tan{\theta}=-2\sqrt{2}$$$${\small (2)}~\cos{\theta}=-{ \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}}~,~\sin{\theta}={ \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}}$$→ 三角比の相互関係の公式（鈍角）

p.144 練習17$${\small (1)}~45^\circ$$$${\small (2)}~120^\circ$$→ 直線の傾きと正接

p.145 問題 2\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
　\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
　\({\rm B+C}=180^\circ-{\rm A}\)
これより、$$~~~{ \frac{\,{\rm B+C}\,}{\,2\,}}=90^\circ-{ \frac{\,{\rm A}\,}{\,2\,}}$$ここで、\(\cos{(90^\circ-\theta)}=\sin{\theta}\) より、$$~~~\cos{\left(90^\circ-{ \frac{\,{\rm A}\,}{\,2\,}}\right)}=\sin{{ \frac{\,{\rm A}\,}{\,2\,}}}$$したがって、$$~~~\sin{{ \frac{\,{\rm A}\,}{\,2\,}}}=\cos{{ \frac{\,{\rm B+C}\,}{\,2\,}}}$$[終]
 
\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
　\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
　\({\rm B+C}=180^\circ-{\rm A}\)
ここで、\(\sin{(180^\circ-\theta)}=\sin{\theta}\) より、
　\(\sin{(180^\circ-{\rm A})}=\sin{{\rm A}}\)
したがって、
　\(\sin{{\rm A}}=\sin{({\rm B+C})}\)
[終]

p.148 練習18$${\small (1)}~{ \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,}}$$$${\small (2)}~1$$

p.148 練習19$$~~~30^\circ~,~150^\circ$$

p.149 練習20$${\small (1)}~b=1$$$${\small (2)}~c=\sqrt{6}$$→ 正弦定理

p.149 練習21$$~~~200\sqrt{2}~{\rm m}$$

p.150 練習22[証明] \(\triangle {\rm CDB}\) において三平方の定理より、
　\({\rm BC}^2={\rm CD}^2+{\rm BD}^2\)
 
次に、\(\triangle {\rm CAD}\) において
　\(\sin{(180^\circ-{\rm A})}={\large \frac{{\rm CD}}{b}}\)
よって、
　\(b\sin{{\rm A}}={\rm CD}\)
２乗すると、
　\({\rm CD}^2=(b\sin{{\rm A}})^2\)
 
また、\(\triangle {\rm CAD}\) において、$$~~~\cos{(180^\circ-{\rm A})}={ \frac{\,{\rm AD}\,}{\,b\,}}$$よって、
　\(-b\cos{{\rm A}}={\rm AD}\)
ここで、\({\rm BD=AB+AD}\) より、
　\({\rm BD}=c-b\cos{{\rm A}}\)
２乗すると、
　\({\rm BD}^2=(c-b\cos{{\rm A}})^2\) [終]

p.151 練習23$${\small (1)}~b=\sqrt{5}$$$${\small (2)}~c=7$$→ 余弦定理

p.151 練習24$$~~~10\sqrt{21}~{\rm m}$$

p.152 練習25$${\small (1)}~{\rm A}=30^\circ$$$${\small (2)}~{\rm B}=135^\circ$$→ 余弦定理

p.152 練習26\({\small (1)}~\)鈍角
\({\small (2)}~\)鋭角
→ 三角形の辺と角の条件

p.154 練習27$$~~~b=2~,~{\rm A}=30^\circ~,~{\rm C}=105^\circ$$

p.154 深める\({\rm A}=60^\circ\) であり、\({\rm B}=135^\circ\) であると内角の和が \(180^\circ\) より大きくなり、三角形とならない

p.155 練習28$$~~~{\rm C}=120^\circ$$

p.157 練習29$${\small (1)}~20\sqrt{2}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,15\,}{\,2\,}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,4\,}}a^2$$

p.157 練習30$${\small (1)}~10\sqrt{3}$$$${\small (2)}~84$$→ 三角形の面積（三角比）

p.158 練習31$$~~~6\sqrt{3}$$→ 円に内接する四角形

p.159 練習32$$~~~{ \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,6\,}}$$→ 内接円の半径

p.160 発展 練習1$$~~~14\sqrt{3}$$

p.161 練習33$$~~~50\sqrt{2}~{\rm m}$$

p.162 練習34$$~~~3\sqrt{29}$$→ 直方体の計量

p.163 研究 練習1$$~~~{ \frac{\,4\sqrt{11}\,}{\,3\,}}$$

p.165 章末問題Ａ 3[証明]

\(\triangle {\rm AOD}\) の面積は
　\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm AOB}\) の面積は
　　\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
　\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm BOC}\) の面積は
　\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
\(\triangle {\rm OCD}\) の面積は
　　\({\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OC}\cdot{\rm OD}\sin{(180^\circ-\theta)}\)
　\(={\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OC}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
これら４つの三角形の面積の和が、四角形の面積 \(S\) となるので、
　\(S= {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
　　　\(+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OA}\cdot{\rm OB}\sin{\theta}\)
　　　\(~+{\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OB}\cdot{\rm OC}\sin{\theta}\)
　　　\(~~+ {\large \frac{1}{2}}\cdot{\rm OC}\cdot{\rm OD}\sin{\theta}\)
因数分解すると、
　\(S={\large \frac{1}{2}}({\rm OA+OC})({\rm OB+OD})\sin{\theta}\)
ここで、\({\rm OA+OC}=p~,~{\rm OB+OD}=q\) より、
　\(S={\large \frac{1}{2}}pq\sin{\theta}\) [終]