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【新課程】数研出版:高等学校数学Ⅰ[713]

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第1章 数と式
第2章 集合と命題
第3章 2次関数
第4章 図形と計量
第5章 データの分析

 



第2章 集合と命題

p.52 練習1$${\small (1)}~\in$$$${\small (2)}~\in$$$${\small (3)}~\notin$$
p.53 練習2$${\small (1)}~{\rm A}=\{1~,~2~,~4~,~5~,~10~,~20\}$$$${\small (2)}~{\rm B}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~9\}$$$${\small (3)}~{\rm C}=\{1~,~4~,~7~,~10~,~\cdots\}$$→ 集合の表し方と要素

p.53 深める\(~~~{\rm C}=\{x~|~x\) は \(15\) 以下の正の奇数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)

p.54 練習3$${\small (1)}~\rm A\subset B$$$${\small (2)}~\rm C=D$$$${\small (3)}~\rm P\supset Q$$

p.54 練習4$${\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}$$$${\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}$$$$~~~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}$$→ 集合の包含関係と部分集合

p.55 練習5$${\small (1)}~\{2,4,6\}$$$${\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}$$$${\small (3)}~\phi$$$${\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}$$→ 共通部分と和集合
p.55 練習6 \({\rm A}\cap{\rm B}=\{~x~|~0< x≦2~,~x\)は実数\(~\}\)
 \({\rm A}\cup{\rm B}=\{~x~|~-2≦ x < 4~,~x\)は実数\(~\}\)

p.56 練習7$${\small (1)}~\{1,2,4,5\}$$$${\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}$$$${\small (3)}~\{4,5\}$$$${\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}$$$${\small (5)}~\{6\}$$$${\small (6)}~\{1,2\}$$
p.57 練習8全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、

この2つの和集合となるので、

これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$→ 補集合とド・モルガンの法則

p.57 研究 練習1$$~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{2,6\}$$$$~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}$$

p.58 練習9\({\small (1)}~\)偽
\({\small (2)}~\)真
命題の真偽

p.60 練習10\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)偽
p.60 練習11\(n=2\) のとき、素数であるが奇数ではない
したがって、偽となる
条件の真偽

p.61 練習12\({\small (1)}~\)十分
\({\small (2)}~\)必要
\({\small (3)}~\)十分

p.62 練習13 ①、③

p.62 練習14\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
必要条件と十分条件

p.62 深める (例) \(q\) : \(n\) は \(3\) の倍数

p.63 練習15\({\small (1)}~n\) は奇数である
\({\small (2)}~n\) は5以上である

p.64 練習16\({\small (1)}~x< 0\) または \(y< 0\)
\({\small (2)}~x\neq 0\) かつ \(y\neq 0\)
\({\small (3)}~x~,~y\) のうち少なくとも一方が無理数
条件の否定①(かつ・または)

p.65 練習17\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
 \(x-y> 0~\Rightarrow~x> y\)、真
対偶は、
 \(x-y≦0~\Rightarrow~x≦y\)、真
裏は、
 \(x≦y~\Rightarrow~x-y≦0\)、真
 
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
 \(x\cdot y\neq 0~\Rightarrow~x\neq 0\)、真
対偶は、
 \(x\cdot y=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
裏は、
 \(x=0~\Rightarrow~x\cdot y=0\)、真
逆と裏と対偶

p.66 練習18[証明]この命題の対偶は、
 \(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$~~~n^2=(2m)^2=2\cdot 2m^2$$\(2m^2\) が整数より \(n^2\) は偶数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
対偶法

p.67 練習19[証明]\(1+3\sqrt{2}\) が無理数でないと仮定すると
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる$$~~~1+3\sqrt{2}=r$$式変形すると、$$~~~\sqrt{2}=\frac{\,r-1\,}{\,3\,}$$\(r\) が有理数であるとこより、\(\large \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) が無理数である
背理法

 



p.70 問題 5① \(1\) は集合 \({\rm A}\) の要素である
③ 集合 \(\{7\}\) は集合 \({\rm B}\) の部分集合である
④ 空集合 \(\phi\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である
⑥ 集合 \({\rm B}\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である

p.71 演習問題B 4\({\small (2)}~\)真
[証明] この命題の対偶は、
「 \(a+b~,~a-b\) がともに有理数ならば、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である」
\(p~,~q\) を有理数とすると、$$~~~\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
a+b=p ~&\cdots{\large ①}\\
a-b=q ~&\cdots{\large ②}
\end{array}\right.\end{eqnarray}$$①、②を解くと、$$~~~a=\frac{\,p+q\,}{\,2\,}~,~b=\frac{\,p-q\,}{\,2\,}$$\(p~,~q\) は有理数であるから、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方が有理数である
したがって、対偶が真であるから、もとの命題も真であるから [終]

p.71 演習問題B 5\({\small (1)}~\)[証明] \(b\neq 0\) と仮定すると、\(a+b\sqrt{2}=0\) より$$~~~\sqrt{2}=-\frac{\,a\,}{\,b\,}$$ここて、\(a,b\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{\,a\,}{\,b\,}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b=0\)
次にこれを \(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(a=0\)
したがって、\(a,b\) が有理数で$$~~~a+b\sqrt{2}=0~\Rightarrow~a=b=0$$[終]
\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)

p.72 発展 練習1\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について、\(x+1≦0\) →真
\({\small (2)}~\)すべての素数 \(n\) について、\(n+2\) は素数でない →偽、反例は \(n=3\)
条件の否定②(すべて・少なくとも)

 



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