このページは、数研出版：高等学校数学Ⅰ[713]
第２章 集合と命題
第２章 集合と命題
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
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高等学校数学Ⅰ 第１章 数と式
高等学校数学Ⅰ 第２章 集合と命題
高等学校数学Ⅰ 第３章 ２次関数
高等学校数学Ⅰ 第４章 図形と計量
高等学校数学Ⅰ 第５章 データの分析
第２章 集合と命題
p.53 練習2\({\small (1)}~{\rm A}=\{1~,~2~,~4~,~5~,~10~,~20\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~9\}\)
\({\small (3)}~{\rm C}=\{1~,~4~,~7~,~10~,~\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~9\}\)
\({\small (3)}~{\rm C}=\{1~,~4~,~7~,~10~,~\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
p.53 深める\(~~~{\rm C}=\{x~|~x\) は \(15\) 以下の正の奇数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
p.54 練習3\({\small (1)}~\rm A\subset B\)
\({\small (2)}~\rm C=D\)
\({\small (3)}~\rm P\supset Q\)
解法のPoint｜部分集合の表し方
\({\small (2)}~\rm C=D\)
\({\small (3)}~\rm P\supset Q\)
解法のPoint｜部分集合の表し方
p.54 練習4\({\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\)
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
p.55 練習5\({\small (1)}~\{2,4,6\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.55 練習6 \({\rm A}\cap{\rm B}=\{~x~|~0\lt x{\small ~≦~}2~,~x\)は実数\(~\}\)
\({\rm A}\cup{\rm B}=\{~x~|~-2{\small ~≦~} x \lt 4~,~x\)は実数\(~\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
\({\rm A}\cup{\rm B}=\{~x~|~-2{\small ~≦~} x \lt 4~,~x\)は実数\(~\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
p.56 練習7\({\small (1)}~\{1,2,4,5\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.57 練習8[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
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p.57 研究 練習1\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{2,6\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.62 練習14\({\small (1)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
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\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
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p.62 深める (例) \(q\) ： \(n\) は \(3\) の倍数
p.64 練習16\({\small (1)}~x\lt 0\) または \(y\lt 0\)
\({\small (2)}~x\neq 0\) かつ \(y\neq 0\)
\({\small (3)}~x~,~y\) のうち少なくとも一方が無理数
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x\neq 0\) かつ \(y\neq 0\)
\({\small (3)}~x~,~y\) のうち少なくとも一方が無理数
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.65 練習17\({\small (1)}~\)命題は真
逆は、
\(x-y\gt 0~\Rightarrow~x\gt y\)、真
対偶は、
\(x-y{\small ~≦~}0~\Rightarrow~x{\small ~≦~}y\)、真
裏は、
\(x{\small ~≦~}y~\Rightarrow~x-y{\small ~≦~}0\)、真
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x\cdot y\neq 0~\Rightarrow~x\neq 0\)、真
対偶は、
\(x\cdot y=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
裏は、
\(x=0~\Rightarrow~x\cdot y=0\)、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
逆は、
\(x-y\gt 0~\Rightarrow~x\gt y\)、真
対偶は、
\(x-y{\small ~≦~}0~\Rightarrow~x{\small ~≦~}y\)、真
裏は、
\(x{\small ~≦~}y~\Rightarrow~x-y{\small ~≦~}0\)、真
\({\small (2)}~\)命題は偽
逆は、
\(x\cdot y\neq 0~\Rightarrow~x\neq 0\)、真
対偶は、
\(x\cdot y=0~\Rightarrow~x=0\)、偽
裏は、
\(x=0~\Rightarrow~x\cdot y=0\)、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.66 練習18命題「\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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「\(n\) が偶数ならば \(n^2\) は偶数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2\) は偶数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が奇数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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p.67 練習19[証明] 「\(1+3\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(1+3\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~1+3\sqrt{2}&=&r\\[3pt]~~~3\sqrt{2}&=&r-1\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(1+3\sqrt{2}\) は無理数である [終]
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\(1+3\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~1+3\sqrt{2}&=&r\\[3pt]~~~3\sqrt{2}&=&r-1\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,r-1\,}{\,3\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(1+3\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(1+3\sqrt{2}\) は無理数である [終]
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問題
p.70 問題 1\({\small (1)}~A \cap B=\{1~,~2~,~4~,~8\}\)、
\(A \cup B=\{1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~16\}\)
\({\small (2)}~A \cap B=\{-1~,~1\}\)、
\(A \cup B=\{-2~,~-1~,~0~,~1~,~2~,~3\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(A \cup B=\{1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~7~,~8~,~16\}\)
\({\small (2)}~A \cap B=\{-1~,~1\}\)、
\(A \cup B=\{-2~,~-1~,~0~,~1~,~2~,~3\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.70 問題 2\({\small (1)}~\{3~,~5\}\)
\({\small (2)}~\{1~,~2~,~4~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (3)}~\{4~,~6~,~7~,~9\}\)
\({\small (4)}~\{2~,~8\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{1~,~2~,~4~,~6~,~7~,~8~,~9\}\)
\({\small (3)}~\{4~,~6~,~7~,~9\}\)
\({\small (4)}~\{2~,~8\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.70 問題 3\({\small (1)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
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\({\small (2)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
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p.70 問題 5① \(1\) は集合 \({\rm A}\) の要素である
③ 集合 \(\{7\}\) は集合 \({\rm B}\) の部分集合である
④ 空集合 \(\phi\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である
⑥ 集合 \({\rm B}\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である
解法のPoint｜集合と属する要素
解法のPoint｜部分集合の表し方
③ 集合 \(\{7\}\) は集合 \({\rm B}\) の部分集合である
④ 空集合 \(\phi\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である
⑥ 集合 \({\rm B}\) は集合 \({\rm A}\) の部分集合である
解法のPoint｜集合と属する要素
解法のPoint｜部分集合の表し方
章末問題 集合と論理
p.71 章末問題A 2逆は、
\(m~,~n~,~k\) の少なくとも1つは偶数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は偶数、真
対偶は、
\(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は奇数、真
裏は、
積 \(mnk\) は奇数 \(\Longrightarrow\) \(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
\(m~,~n~,~k\) の少なくとも1つは偶数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は偶数、真
対偶は、
\(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数 \(\Longrightarrow\) 積 \(mnk\) は奇数、真
裏は、
積 \(mnk\) は奇数 \(\Longrightarrow\) \(m~,~n~,~k\) はいずれも奇数、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.71 章末問題B 4\({\small (1)}~\)偽、反例は \(a=\sqrt{2}~,~b=-\sqrt{2}\) など
\({\small (2)}~\)真
[証明] \(a+b~,~a-b\) がともに有理数のとき、
有理数 \(p~,~q\) を用いて、\(a+b=p~,~a-b=q\) とおくと、
この \(2\) 式の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2a&=&p+q
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,p+q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) 式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2b&=&p-q
\\[5pt] b&=&\displaystyle \frac{\,p-q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(p~,~q\) は有理数であるので、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である」は真となる [終]
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\({\small (2)}~\)真
[証明] \(a+b~,~a-b\) がともに有理数のとき、
有理数 \(p~,~q\) を用いて、\(a+b=p~,~a-b=q\) とおくと、
この \(2\) 式の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
+\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2a&=&p+q
\\[5pt] a&=&\displaystyle \frac{\,p+q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
この \(2\) 式の差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&p \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&q\\[3pt]
\hline 2b&=&p-q
\\[5pt] b&=&\displaystyle \frac{\,p-q\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(p~,~q\) は有理数であるので、\(a~,~b\) はともに有理数である
よって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は有理数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、「\(a~,~b\) がともに無理数ならば、\(a+b~,~a-b\) の少なくとも一方は無理数である」は真となる [終]
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p.71 章末問題B 5\({\small (1)}~\)[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)
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\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
\({\small (2)}~a=2~,~b=-3\)
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p.72 発展 練習1\({\small (1)}~\)命題は偽
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1{\small ~≦~}0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
解法のPoint｜すべて・あるの否定
命題の否定は、
「ある実数 \(x\) について \(x+1{\small ~≦~}0\)」
また、命題の否定は真
\({\small (2)}~\)命題は真
命題の否定は、
「すべての素数 \(n\) について \(n+2\) は素数でない」
また、命題の否定は偽
解法のPoint｜すべて・あるの否定
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