このページは、数研出版：数学Ⅱ[709]
第３章 図形と方程式
第３章 図形と方程式
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数研出版数学Ⅱ 第１章 式と証明
数研出版数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
数研出版数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
数研出版数学Ⅱ 第４章 三角関数
数研出版数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
数研出版数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第３章 図形と方程式
第１節 点と直線
p.73 深める\(a \gt b\) のとき、\(b \lt x \lt a\) であるから、
\({\rm AP}=a-x~,~{\rm PB}=x-b\)
\({\rm AP:PB}=m:n\) より、\(\begin{eqnarray}~~~a-x:x-b&=&m:n\\[2pt]~n(a-x)&=&m(x-b)\\[2pt]~(m+n)x&=&na+mb\\[3pt]~x&=&\displaystyle \frac{\,na+mb\,}{\,m+n\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
\({\rm AP}=a-x~,~{\rm PB}=x-b\)
\({\rm AP:PB}=m:n\) より、\(\begin{eqnarray}~~~a-x:x-b&=&m:n\\[2pt]~n(a-x)&=&m(x-b)\\[2pt]~(m+n)x&=&na+mb\\[3pt]~x&=&\displaystyle \frac{\,na+mb\,}{\,m+n\,}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.74 問1\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~7\) \({\small (4)}~-1\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.74 練習2\({\small (1)}~{\displaystyle \frac{\,14\,}{\,5\,}}\) \({\small (2)}~22\) \({\small (3)}~-18\) \({\small (4)}~2\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.76 練習4[証明]
２点間の距離の公式より、
\({\rm AB}^2=3^2+(-1)^2=10\)
\({\rm BC}^2=(-2)^2+4^2=20\)
\({\rm CA}^2=(-1)^2+(-3)^2=10\)
これより、
\({\rm BC^2=AB^2+CA^2}\) と \({\rm AB=CA}\)
が成り立つ
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は辺 \({\rm BC}\) を斜辺とする直角二等辺三角形となる [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
２点間の距離の公式より、
\({\rm AB}^2=3^2+(-1)^2=10\)
\({\rm BC}^2=(-2)^2+4^2=20\)
\({\rm CA}^2=(-1)^2+(-3)^2=10\)
これより、
\({\rm BC^2=AB^2+CA^2}\) と \({\rm AB=CA}\)
が成り立つ
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) は辺 \({\rm BC}\) を斜辺とする直角二等辺三角形となる [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
p.76 練習5[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、点 \({\rm D}\) を原点にとる
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
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点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
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p.78 練習6\({\small (1)}~{\rm C}\left(-{\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}}~,~-{\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}}\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(9~,~-20)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-11~,~20)\) \({\small (4)}~{\rm M}(-1~,~0)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
\({\small (3)}~{\rm E}(-11~,~20)\) \({\small (4)}~{\rm M}(-1~,~0)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
p.79 練習7\({\small (1)}~(2~,~1)\) \({\small (2)}~\left(-3~,~-{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}}\right)\)
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
p.81 練習10\({\small (1)}~y=2x-1\) \({\small (2)}~y=-{\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}x-{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,3\,}}\)
\({\small (3)}~x=2\)
解法のPoint｜点と傾きが条件の直線の方程式
\({\small (3)}~x=2\)
解法のPoint｜点と傾きが条件の直線の方程式
p.82 練習11\({\small (1)}~y=-2x+11\) \({\small (2)}~y=x+3\)
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=-3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=-3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
p.82 練習12[証明] ２点 \((a~,~0)~,~(0~,~b)\) を通る直線であるので、
\(y-0=\displaystyle \frac{\,b-0\,}{\,0-a\,}(x-a)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+b\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,bx\,}{\,a\,}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,b\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
\(y-0=\displaystyle \frac{\,b-0\,}{\,0-a\,}(x-a)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+b\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,bx\,}{\,a\,}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,b\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
p.85 練習15ただ１組の解をもつ \(a\neq -\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解をもたない \(a=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,},~c\neq\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
無数の解をもつ \(a=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,},~c=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜連立方程式の解と2直線の関係
解をもたない \(a=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,},~c\neq\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
無数の解をもつ \(a=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,},~c=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜連立方程式の解と2直線の関係
p.86 深める同じではない
①’は、２直線の交点を通る直線を表すが、直線 \(2x-y-3=0\) は表すことができない
①’は、２直線の交点を通る直線を表すが、直線 \(2x-y-3=0\) は表すことができない
p.89 練習18\({\small (1)}~\sqrt{5}\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~{\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}}\) \({\small (4)}~{\displaystyle \frac{\,\sqrt{10}\,}{\,2\,}}\)
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
p.90 練習19[証明] 座標平面において、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線を \(y\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm L}\) を原点 \((0~,~0)\) にとる
また、3つの頂点を \({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,b \neq 0~,~c \gt 0\,)\) とおくと、
辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線は \(y\) 軸上、すなわち直線 \(x=0\) である
辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
\(\displaystyle {\rm N}\left(\frac{\,a-c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
\(\displaystyle {\rm M}\left(\frac{\,a+c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
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また、3つの頂点を \({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,b \neq 0~,~c \gt 0\,)\) とおくと、
辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線は \(y\) 軸上、すなわち直線 \(x=0\) である
直線 \({\rm AB}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-(-c)\,}=\frac{\,b\,}{\,a+c\,}\)
辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm N}\left(\frac{\,a-c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\left(x-\frac{\,a-c\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a+c)(a-c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a+c)(a-c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-c\,}=\frac{\,b\,}{\,a-c\,}\)
辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm M}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm M}\left(\frac{\,a+c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\left(x-\frac{\,a+c\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a-c)(a+c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a-c)(a+c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) はともに \(y\) 軸との交点 \(\displaystyle {\rm P}\left(0~,~\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}\right)\) を通り、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線も \(y\) 軸上の点 \({\rm P}\) を通る
したがって、3辺の垂直二等分線は1点で交わる [終]
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問題
p.91 問題 3\({\small (1)}~\) \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\) \({\small (2)}~\) \((-1~,~7)\)
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p.91 問題 6\({\small (1)}~\)[証明] \(a_1x+b_1y+c_1=0\) の傾きは、\(b_1\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
[終]
\({\small (2)}~\) 平行 \(a=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、垂直 \(a=1~,~-2\)
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\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(a_2x+b_2y+c_2=0\) の傾きは、\(b_2\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
2直線が平行のとき傾きが等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が垂直のとき、傾きの積が \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
[終]
\({\small (2)}~\) 平行 \(a=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)、垂直 \(a=1~,~-2\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.91 問題 7\({\small (1)}~\) \(x-2y-7=0\) \({\small (2)}~\) \(4\sqrt{\,5\,}\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,17\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) \({\small (4)}~\) \(34\)
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\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,17\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) \({\small (4)}~\) \(34\)
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第２節 円
p.93 練習22\({\small (1)}~(x+1)^2+(y-2)^2=10\)
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y+2)^2=17\)
解法のPoint｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式
\({\small (2)}~(x-1)^2+(y+2)^2=17\)
解法のPoint｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式
p.94 練習23\({\small (1)}~\)中心 \((1~,~-2)\)、半径 \(4\)
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~4)\)、半径 \(3\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~4)\)、半径 \(3\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
p.95 練習25\({\small (1)}~x^2+y^2-2x+2y-3=0\)
\({\small (2)}~\)外心 \((1~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
\({\small (2)}~\)外心 \((1~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{5}\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
p.98 問4\({\small (1)}~k=\sqrt{2}~,~\left(-{\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}~,~{\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}\right)\)
\(k=-\sqrt{2}~,~\left({\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}~,~-{\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (2)}~k \lt -\sqrt{2}~,~\sqrt{2} \lt k\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
\(k=-\sqrt{2}~,~\left({\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}~,~-{\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}\right)\)
\({\small (2)}~k \lt -\sqrt{2}~,~\sqrt{2} \lt k\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
p.98 練習28\({\small (1)}~-5{\small ~≦~}k{\small ~≦~}5\)
\({\small (2)}~\)\(k=5\) のとき \((-2,1)\)
\(k=-5\) のとき \((2,-1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
\({\small (2)}~\)\(k=5\) のとき \((-2,1)\)
\(k=-5\) のとき \((2,-1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
p.99 練習29\(-2\sqrt{5} \lt k \lt 2\sqrt{5}\) のとき２個
\(k=\pm2\sqrt{5}\) のとき１個
\(k \lt -2\sqrt{5}~,~2\sqrt{5} \lt k\) のとき０個
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\(k=\pm2\sqrt{5}\) のとき１個
\(k \lt -2\sqrt{5}~,~2\sqrt{5} \lt k\) のとき０個
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
p.102 練習32\(~~~y=1~,~(0~,~1)\)
\(~~~3x+4y+5=0~,~\left(-{\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}}~,~-{\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}}\right)\)
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\(~~~3x+4y+5=0~,~\left(-{\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}}~,~-{\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}}\right)\)
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p.102 深める点 \((1~,~3)\) を通り、傾き \(m\) の直線は、
\(\begin{eqnarray}~y&=&m(x-1)+3\\[2pt]~y&=&mx-m+3\end{eqnarray}\)
円の方程式と連立して、\(x\) の２次方程式の判別式 \(D=0\) を解く
\(\begin{eqnarray}~y&=&m(x-1)+3\\[2pt]~y&=&mx-m+3\end{eqnarray}\)
円の方程式と連立して、\(x\) の２次方程式の判別式 \(D=0\) を解く
p.104 深める\({\small (1)}~\)内接する
\({\small (2)}~\)内接する
\({\small (2)}~\)内接する
p.106 練習36中心 \(\left(1~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜2つの円の交点を通る図形の方程式
解法のPoint｜2つの円の交点を通る図形の方程式
p.106 深める円 \(x^2+y^2=5\) は表すことができない
問題
p.107 問題 10 \(m \lt -\sqrt{\,15\,}~,~\sqrt{\,15\,} \lt m\)
\(m=\sqrt{\,15\,}\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)\)
\(m=-\sqrt{\,15\,}\) のとき \(\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\(m=\sqrt{\,15\,}\) のとき \(\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)\)
\(m=-\sqrt{\,15\,}\) のとき \(\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,15\,}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\right)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
p.107 問題 11\({\small (1)}~\) \(3x+y=10\)、\((3~,~1)\)
\(-x+3y=10\)、\((-1~,~3)\)
\({\small (2)}~\) \(x+2y=5\)
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\(-x+3y=10\)、\((-1~,~3)\)
\({\small (2)}~\) \(x+2y=5\)
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p.107 問題 12\({\small (1)}~\) \(4x+3y=15\)、\(4x+3y=-15\)
\({\small (2)}~\) \(x-3y=3\sqrt{\,10\,}\)、\(x-3y=-3\sqrt{\,10\,}\)
解法のPoint｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
\({\small (2)}~\) \(x-3y=3\sqrt{\,10\,}\)、\(x-3y=-3\sqrt{\,10\,}\)
解法のPoint｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
p.107 問題 13\({\small (1)}~\) \((x-1)^2+(y+2)^2=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
\({\small (2)}~\) \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-9)^2+(y-10)^2=100\)
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
解法のPoint｜直線上に中心がある円の方程式
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
\({\small (2)}~\) \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)
\((x-9)^2+(y-10)^2=100\)
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
解法のPoint｜直線上に中心がある円の方程式
p.107 問題 16\({\small (1)}~\)
① \(y=x\) 上の点 \((a~,~a)\) における垂線を引く
② ２点 \((0~,~1)~,~(a~,~a)\) を結ぶ線分の垂直二等分線を引く
③ ①と②の直線の交点を中心として、\((a~,~a)\) までの距離を半径とした円が円 \(C\) となる
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
① \(y=x\) 上の点 \((a~,~a)\) における垂線を引く
② ２点 \((0~,~1)~,~(a~,~a)\) を結ぶ線分の垂直二等分線を引く
③ ①と②の直線の交点を中心として、\((a~,~a)\) までの距離を半径とした円が円 \(C\) となる
\(\left(x-\displaystyle \frac{\,-2a^2+4a-1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle \frac{\,2a^2+1\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,(2a^2-2a+1)^2\,}{\,2\,}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
第３節 軌跡と領域
p.108 練習37点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+(y-2)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x+y-3=0\) である
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+(y-2)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2&=&(x-3)^2+(y-2)^2\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2&=&x^2-6x+9+y^2-4y+4\\[3pt]~~~-2x+1&=&-6x+9-4y+4\\[3pt]~~~4x+4y-12&=&0\\[3pt]~~~x+y-3&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x+y-3=0\) である
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p.109 練習38点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((-2~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&1:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+1)^2+y^2\right\}&=&(x-2)^2+y^2\\[3pt]~~~4(x^2+2x+1+y^2)&=&x^2-4x+4+y^2\\[3pt]~~~4x^2+8x+4+4y^2-x^2+4x-4-y^2&=&0\\[3pt]~~~3x^2+12x+3y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2+4x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x+2)^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((-2~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
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p.109 深める 中心 \((4~,~0)\)、半径 \(2\) の円
p.110 練習39 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、
\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 0+2 \cdot s\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&2s\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 3+2 \cdot t\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+2t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+2t\\[3pt]~~~2t&=&3y-3\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\left(\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\right)^2\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,9x^2\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~2(3y-3)&=&9x^2\\[3pt]~~~6y-6&=&9x^2\\[3pt]~~~6y&=&9x^2+6\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1\) である
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点 \({\rm Q}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、
\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 0+2 \cdot s\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&2s\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1 \cdot 3+2 \cdot t\,}{\,2+1\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+2t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+2t\\[3pt]~~~2t&=&3y-3\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\left(\displaystyle \frac{\,3x\,}{\,2\,}\right)^2\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3y-3\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,9x^2\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~2(3y-3)&=&9x^2\\[3pt]~~~6y-6&=&9x^2\\[3pt]~~~6y&=&9x^2+6\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x^2+1\) である
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p.112 練習40\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
p.112 練習41\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
p.113 練習42\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
\({\small (4)}~\)
境界線を含まない
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
\({\small (4)}~\)
境界線を含まない
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
p.114 練習44\({\small (1)}~x-2y+2 \gt 0\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-1)^2 \lt 4\)
解法のPoint｜不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-1)^2 \lt 4\)
解法のPoint｜不等式の領域の図の読み取り
p.116 深める\(~m \lt \displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
p.117 練習48[証明] 不等式 \(x^2+y^2 \lt 1\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y \lt \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&\lt&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&\lt&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{1^2+1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 \lt 1\) ならば \(x+y \lt \sqrt{\,2\,}\) である [終]
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中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y \lt \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&\lt&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&\lt&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{1^2+1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 \lt 1\) ならば \(x+y \lt \sqrt{\,2\,}\) である [終]
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問題
p.119 問題 17点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2-\left\{(x-1)^2+y^2\right\}&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-(x^2-2x+1+y^2)&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-x^2+2x-1-y^2&=&8\\[3pt]~~~4x&=&8\\[3pt]~~~x&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
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p.119 問題 18点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+1=0\) 上にあるので、
\(2a-b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、点 \((2~,~1)\) が線分 \({\rm PQ}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+a\,}{\,2\,}&=&2\\[3pt]~~~x+a&=&4\\[3pt]~~~a&=&4-x\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+b\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~y+b&=&2\\[3pt]~~~b&=&2-y\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)-(2-y)+1&=&0\\[3pt]~~~8-2x-2+y+1&=&0\\[3pt]~~~-2x+y+7&=&0\\[3pt]~~~2x-y-7&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y-7=0\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+1=0\) 上にあるので、
\(2a-b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、点 \((2~,~1)\) が線分 \({\rm PQ}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,x+a\,}{\,2\,}&=&2\\[3pt]~~~x+a&=&4\\[3pt]~~~a&=&4-x\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,y+b\,}{\,2\,}&=&1\\[3pt]~~~y+b&=&2\\[3pt]~~~b&=&2-y\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)-(2-y)+1&=&0\\[3pt]~~~8-2x-2+y+1&=&0\\[3pt]~~~-2x+y+7&=&0\\[3pt]~~~2x-y-7&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y-7=0\) である
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p.119 問題 19点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABQ}\) の重心より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+3+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,9+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&9+s\\[3pt]~~~s&=&3x-9\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,0+3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+t\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3x-9)^2+(3y-3)^2&=&9\\[3pt]~~~\{3(x-3)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9\\[3pt]~~~9(x-3)^2+9(y-1)^2&=&9\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((3~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である
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点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABQ}\) の重心より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+3+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,9+s\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3x&=&9+s\\[3pt]~~~s&=&3x-9\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,0+3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~3y&=&3+t\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3x-9)^2+(3y-3)^2&=&9\\[3pt]~~~\{3(x-3)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9\\[3pt]~~~9(x-3)^2+9(y-1)^2&=&9\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ \((3x-9)^2\) 、\((3y-3)^2\) は展開せずに、\(\{3(x-3)\}^2=9(x-3)^2\) 、\(\{3(y-1)\}^2=9(y-1)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((3~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である
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p.119 問題 20\({\small (1)}~\)
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
解法のPoint｜積の形の不等式の表す領域
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜放物線が境界線の不等式の領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
解法のPoint｜積の形の不等式の表す領域
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜放物線が境界線の不等式の領域
p.119 問題 21\({\small (1)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}2x-y+2 \gt 0\\x+2y-2 \gt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+(y-1)^2 \gt 1\\x^2+(y-2)^2 \lt 4\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}2x-y+4 \gt 0\\x-5y+2 \lt 0\\x+y-4 \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+(y-1)^2 \gt 1\\x^2+(y-2)^2 \lt 4\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (3)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}2x-y+4 \gt 0\\x-5y+2 \lt 0\\x+y-4 \lt 0\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
p.119 問題 23[証明] 異なる２点の座標を、\({\rm A}(0~,~0)~,~{\rm B}(a~,~b)\) として、点 \({\rm P}(x~,~y)\) とすると、
\({\rm PA:PB}=m:1\)より、\({\rm PA}^2=m^2{\rm PB}^2\) であるので、
\(~~~x^2+y^2=m^2\left\{(x-a)^2+(y-b)^2 \right\}\)
計算すると、
\({\rm PA:PB}=m:1\)より、\({\rm PA}^2=m^2{\rm PB}^2\) であるので、
\(~~~x^2+y^2=m^2\left\{(x-a)^2+(y-b)^2 \right\}\)
計算すると、
\(~~~(m^2-1)x^2-2m^2ax+m^2x^2+(m^2-1)y^2-2m^2by+m^2y^2=0\)
※ 数式は横にスクロールできます。
これより、
\(m=1\) のとき直線
\(m\neq 1\) のとき円
となる [終]
演習問題 図形と方程式
p.120 演習問題A 1[証明]
\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の座標を、
\({\rm A}(x_1~,~y_1)\)\(~,~\)\({\rm B}(x_2~,~y_2)\)\(~,~\)\({\rm C}(x_3~,~y_3)\)
これより、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、
\(~{\rm G}\left(\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+x_3\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,y_1+y_2+y_3\,}{\,3\,}\right)\)
次に、\({\rm D~,~E~,~F}\) の座標は、
\(~~\,{\rm D}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_2+mx_3\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_2+my_3\,}{\,m+n\,}\right)\)
\(~~~{\rm E}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_3+mx_1\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_3+my_1\,}{\,m+n\,}\right)\)
\(~~\,{\rm F}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,}\right)\)
これより、\(\triangle {\rm DEF}\) の重心 \({\rm G’}=(x~,~y)\) とすると、
\(~~~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\displaystyle \frac{\,nx_2+mx_3\,}{\,m+n\,}\) \(+\displaystyle \frac{\,nx_3+mx_1\,}{\,m+n\,}+\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,})\)
\(~~=\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+x_3\,}{\,3\,}\)
\(y\) 座標は、
\(~~~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\displaystyle \frac{\,ny_2+my_3\,}{\,m+n\,}\)
\(+\displaystyle \frac{\,ny_3+my_1\,}{\,m+n\,}+\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,})\)
\(~~=\displaystyle \frac{\,y_1+y_2+y_3\,}{\,3\,}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心と \(\triangle {\rm DEF}\) の重心は一致する [終]
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点の座標を、
\({\rm A}(x_1~,~y_1)\)\(~,~\)\({\rm B}(x_2~,~y_2)\)\(~,~\)\({\rm C}(x_3~,~y_3)\)
これより、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、
\(~{\rm G}\left(\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+x_3\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,y_1+y_2+y_3\,}{\,3\,}\right)\)
次に、\({\rm D~,~E~,~F}\) の座標は、
\(~~\,{\rm D}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_2+mx_3\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_2+my_3\,}{\,m+n\,}\right)\)
\(~~~{\rm E}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_3+mx_1\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_3+my_1\,}{\,m+n\,}\right)\)
\(~~\,{\rm F}=\left(\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,}~,~\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,}\right)\)
これより、\(\triangle {\rm DEF}\) の重心 \({\rm G’}=(x~,~y)\) とすると、
\(~~~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\displaystyle \frac{\,nx_2+mx_3\,}{\,m+n\,}\) \(+\displaystyle \frac{\,nx_3+mx_1\,}{\,m+n\,}+\displaystyle \frac{\,nx_1+mx_2\,}{\,m+n\,})\)
\(~~=\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+x_3\,}{\,3\,}\)
\(y\) 座標は、
\(~~~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\displaystyle \frac{\,ny_2+my_3\,}{\,m+n\,}\)
\(+\displaystyle \frac{\,ny_3+my_1\,}{\,m+n\,}+\displaystyle \frac{\,ny_1+my_2\,}{\,m+n\,})\)
\(~~=\displaystyle \frac{\,y_1+y_2+y_3\,}{\,3\,}\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心と \(\triangle {\rm DEF}\) の重心は一致する [終]
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
p.120 演習問題A 4\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,|x_1 y_2 – x_2 y_1|\,}{\,\sqrt{\,x_1^{\,2}+y_1^{\,2}\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)[証明] 辺 \({\rm OA}\) の長さは、
\(x\) 座標の差が \(|\,x_1-0\,|=|\,x_1\,|\)
\(y\) 座標の差が \(|\,y_1-0\,|=|\,y_1\,|\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~{\rm OA}&=&\sqrt{x_1^2+y_1^2}\end{eqnarray}\)
以上より、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] 辺 \({\rm OA}\) の長さは、
\(x\) 座標の差が \(|\,x_1-0\,|=|\,x_1\,|\)
\(y\) 座標の差が \(|\,y_1-0\,|=|\,y_1\,|\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~{\rm OA}&=&\sqrt{x_1^2+y_1^2}\end{eqnarray}\)
以上より、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される [終]
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p.120 演習問題A 6点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
ただし、\(\triangle {\rm PAB}\) をつくるので、3点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm P}\) は一直線上にない
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である（ただし、2点 \((0~,~0)\) 、\((12~,~0)\) を除く）
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+3)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-2)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+6x+9+y^2)&=&9(x^2-4x+4+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2&=&9x^2-36x+36+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2-9x^2+36x-36-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+60x-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-12x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-6)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ただし、\(\triangle {\rm PAB}\) をつくるので、3点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm P}\) は一直線上にない
2点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) は \(x\) 軸上にあるので、点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標が \(0\) とならない。
\({\small [\,2\,]}\) で \(y=0\) とすると、\(x=0~,~12\) となるので、2点 \((0~,~0)\) 、\((12~,~0)\) を除く
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である（ただし、2点 \((0~,~0)\) 、\((12~,~0)\) を除く）
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p.120 演習問題A 7\({\small (1)}~\) \((a~,~a+3)\)
\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a~,~a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{22pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、直線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は直線 \(y=x+3\) である。
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\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a~,~a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{22pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、直線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は直線 \(y=x+3\) である。
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p.121 演習問題B 9[証明] \(x+2y=1\) と \(3x-4y=1\) の交点は、連立することより、
\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
これは、\(ax+by=1\) 上にもあるので、
\(3a+b-5=0\) …①
次に、２点 \((1~,~2)~,~(3~,~-4)\) を通る直線の方程式は、
\(y-2=\displaystyle \frac{\,-4-2\,}{\,3-1\,}(x-1)\)
これより、
\(3x+y-5=0\) …②
①より②に点 \((a~,~b)\) を代入した式が成り立ち、点 \((a~,~b)\) は②上にある
したがって、３点 \((1~,~2)\)\(~,~\)\((3~,~-4)\)\(~,~\)\((a~,~b)\) は一直線上にある [終]
解法のPoint｜一般式の2直線の平行・垂直条件
\(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
これは、\(ax+by=1\) 上にもあるので、
\(3a+b-5=0\) …①
次に、２点 \((1~,~2)~,~(3~,~-4)\) を通る直線の方程式は、
\(y-2=\displaystyle \frac{\,-4-2\,}{\,3-1\,}(x-1)\)
これより、
\(3x+y-5=0\) …②
①より②に点 \((a~,~b)\) を代入した式が成り立ち、点 \((a~,~b)\) は②上にある
したがって、３点 \((1~,~2)\)\(~,~\)\((3~,~-4)\)\(~,~\)\((a~,~b)\) は一直線上にある [終]
解法のPoint｜一般式の2直線の平行・垂直条件
p.121 演習問題B 11 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\)
\((x-6)^2+(y-6)^2=36\)
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
\((x-6)^2+(y-6)^2=36\)
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
p.121 演習問題B 12\(y=-x-3\)、\((-2~,~-1)\)
\(y=7x-3\)、\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式
\(y=7x-3\)、\(\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式
p.121 演習問題B 14\({\small (1)}~\) \(\left(\displaystyle \frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,4s+3t\,}{\,5\,}\right)\)
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(x+y=2\) 上にあるので、
\(s+t=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}\) より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+4t~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4s+3t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5y&=&4s+3t~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(t=2-s\) を \({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去する
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x&=&-3s+4(2-s)
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+8-4s
\\[3pt]~~~5x&=&-7s+8
\\[3pt]~~~7s&=&-5x+8
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5y&=&4s+3(2-s)
\\[3pt]~~~5y&=&4s+6-3s
\\[3pt]~~~5y&=&s+6
\\[3pt]~~~s&=&5y-6~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}={\small [\,5\,]}\) より \(s\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}&=&5y-6
\\[5pt]~~~-5x+8&=&7(5y-6)
\\[3pt]~~~-5x+8&=&35y-42
\\[3pt]~~~-5x-35y&=&-50
\\[3pt]~~~5x+35y&=&50
\\[3pt]~~~x+7y&=&10\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(x+7y=10\) 上にある
逆に、直線 \(x+7y=10\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x+7y=10\) である
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\({\small (2)}~\) 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(x+y=2\) 上にあるので、
\(s+t=2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\small (1)}\) より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-3s+4t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+4t~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,4s+3t\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~~5y&=&4s+3t~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(t=2-s\) を \({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去する
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5x&=&-3s+4(2-s)
\\[3pt]~~~5x&=&-3s+8-4s
\\[3pt]~~~5x&=&-7s+8
\\[3pt]~~~7s&=&-5x+8
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5y&=&4s+3(2-s)
\\[3pt]~~~5y&=&4s+6-3s
\\[3pt]~~~5y&=&s+6
\\[3pt]~~~s&=&5y-6~~~\cdots {\small [\,5\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}={\small [\,5\,]}\) より \(s\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,-5x+8\,}{\,7\,}&=&5y-6
\\[5pt]~~~-5x+8&=&7(5y-6)
\\[3pt]~~~-5x+8&=&35y-42
\\[3pt]~~~-5x-35y&=&-50
\\[3pt]~~~5x+35y&=&50
\\[3pt]~~~x+7y&=&10\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(x+7y=10\) 上にある
逆に、直線 \(x+7y=10\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x+7y=10\) である
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