数研出版：改訂版高等学校数学Ａ

p.112
練習1
\({\small (1)}~\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12\)
\({\small (2)}~6,12,18,24,30\)
→ 約数と倍数

p.113
練習2
\({\small (1)}~\)[証明] \(a,b\) は５の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=5m,b=5n\)
これより、
　\(a+b=5(m+n)\)
\(m+n\) は整数であるので、\(a+b\) は５の倍数である[終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a,a+b\) は５の倍数より、整数 \(m,n\) を用いると、
　\(a=5m,a+b=5n\)
これより、
　\(~~~~~~b\)
　\(~=a+b-a\)
　\(~=5(n-m)\)
\(n-m\) は整数であるので、\(b\) は５の倍数である[終]

p.114
練習3
\(0\)
→ 倍数判別法

p.115
練習4
\({\small (1)}~2^4\cdot3^2\)　\({\small (2)}~2^2\cdot3^2\cdot5\)　\({\small (3)}~3\cdot5^2\cdot7\)
→ 素因数分解

p.115
練習5
\(42\)

p.116
練習6
\({\small (1)}~1,3,5,9,15,45\)
\({\small (2)}~1,2,4,7,8,14,28,56\)
\({\small (3)}~1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\)

p.116
練習7
\({\small (1)}~6\) 個　\({\small (2)}~18\) 個
→ 約数の個数・平方数

p.117
研究1
\({\small (1)}~(x,y)=(4,-1)~,~(6,-3)\)
　　　　\((2,-7)~,~(0,-5)\)
\({\small (2)}~(x,y)=(2,11)~,~(7,6)~,~(3,8)\)
　　　　\((4,7)~,~(0,-1)~,~(-5,4)\)
　　　　\((-1,2)~,~(-2,3)\)

p.118
練習8
\(12\)

p.118
練習9
\(45\)

p.119
練習10
\({\small (1)}~12,360\)　\({\small (2)}~42,7560\)

p.120
練習11
\(4,1260\)

p.120
練習12
\(20,60,180\)
→ 最大公約数と最小公倍数

p.121
練習13
[証明] \(a+1\) は５の倍数より、整数 \(m\) を用いると、
　\(a+1=5m\)
これより、
　\(~~~~~~a+11\)
　\(~=a+1+10\)
　\(~=5(m+2)\)
\(m+2\) は整数であるので、\(a+1\) は５の倍数である
次に、\(a+2\) は９の倍数より、整数 \(n\) を用いると、
　\(a+2=9n\)
これより、
　\(~~~~~~a+11\)
　\(~=a+2+9\)
　\(~=9(n+1)\)
\(n+1\) は整数であるので、\(a+2\) は９の倍数である
以上より、５と９は互いに素であるので、\(a+11\) は５の倍数かつ９の倍数の45の倍数である[終]

p.122
研究1
\((a,b)=(15,180)~,~(45,60)\)

p.124
練習14
\({\small (1)}~2\)　\({\small (2)}~3\)　\({\small (3)}~2\)　\({\small (4)}~0\)
→ 除法の性質

p.125
練習15
[証明] 連続する２つの偶数を整数 \(k\) を用いて、\(2k,2k+2\) とする
これらの２乗の和から４を引いた数は、
　\(~~~~~~(2k)^2+(2k+2)^2-4\)
　\(~=8k(k+1)\)
ここで連続する２つの整数 \(k,k+1\) の少なくとも一方は２の倍数であり \(k(k+1)\) は２の倍数となる
よって、\(8k(k+1)\) は16の倍数となる
したがって、連続する２つの偶数の２乗の和から４を引いた数は16の倍数である [終]

p.126
練習16
[証明] すべての整数を４で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(4k,4k+1,4k+2,4k+3\)
となる
(ⅰ) \(n=4k\) のとき、
　\(n^2=4\cdot 4k^2\)
\(n^2\) が４で割り切れるので不適
(ⅱ) \(n=4k+1\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+2k)+1\)
\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\)
(ⅲ) \(n=4k+2\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+4k+1)\)
\(n^2\) が４で割り切れるので不適
(ⅳ) \(n=4k+3\) のとき、
　\(n^2=4(4k^2+6k+2)+1\)
\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\)
したがって、(ⅱ)と(ⅳ)のとき、\(n^2\) が４で割り切れないで、余りが \(1\) となる [終]
→ 整数の分類と証明

p.127
研究1
\(16\) 個

p.128
研究2
\(49\) 個

p.129
研究1
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~1\)

p.131
研究1
\(1\)

p.131
研究2
\({\small (1)}~5\)　\({\small (2)}~2\)

p.132
1
\({\small (1)}~\)自然数 \(n\) の十の位の数を \(a\)、一の位の数を \(b\) として、整数 \(k~(k≧0)\) を用いて、
　\(n=100k+10a+b\)
と表すことができる
ここで、\(100k=4\cdot 25k\) より４の倍数となるので
\(n\) が４の倍数となるためには、\(10a+b\) が４の倍数であればよい
したがって、下２桁が４の倍数のときとなる

\({\small (2)}~\)自然数 \(n\) の百の位の数を \(a\)、十の位の数を \(b\)、一の位の数を \(c\) として、整数 \(k~(k≧0)\) を用いて、
　\(n=1000k+100a+100b+c\)
と表すことができる
ここで、\(1000k=8\cdot 125k\) より８の倍数となるので
\(n\) が８の倍数となるためには、\(100a+10b+c\) が８の倍数であればよい
したがって、下３桁が８の倍数のときとなる

p.132
2
\(42~,~3780\)

p.132
3
\(45~,~90~,~180~,~360\)

p.132
4
\({\small (1)}~1\)　\({\small (2)}~3\)　\({\small (3)}~5\)

p.132
5
[証明] 連続する２つの偶数を整数 \(k\) を用いて、\(2k,2k+2\) とする
これらの２乗の差は、
　\(~~~~~~(2k)^2-(2k+2)^2\)
　\(~=4(2k+1)\)
ここで \(2k+1\) は奇数となり \(4(2k+1)\) は４の倍数であるが８の倍数ではない [終]

p.132
6
[証明] すべての整数を５で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\)
となる
(ⅰ) \(n=5k\) のとき、
　\(n^2=25k^2=5\cdot5k^2\)
よって、５で割った余りは \(0\) となる
(ⅱ) \(n=5k+1\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+2k)+1\)
よって、５で割った余りは \(1\) となる
(ⅲ) \(n=5k+2\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+4k)+4\)
よって、５で割った余りは \(4\) となる
(ⅳ) \(n=5k+3\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+6k+1)+4\)
よって、５で割った余りは \(4\) となる
(ⅴ) \(n=5k+4\) のとき、
　\(n^2=5(5k^2+8k+3)+1\)
よって、５で割った余りは \(1\) となる
したがって、\(n^2\) を５で割ったときの余りは \(0~,~1~,~4\) のいずれかである [終]

p.132
7
ア:\(5\)　イ:\(2\)　ウ:\(2\)　エ:\(3\)　オ:\(5\)
カ:\(7\)　キ:\(2\)　ク:\(1\)　ケ:\(2\)　コ:\(1\)
サ:\(8\)　シ:\(2\)　ス:\(0\)　セ:\(2\)　ソ:\(8\)
タ:\(3\)　チ:\(2\)

p.135
練習17
\({\small (1)}~37\)　\({\small (2)}~29\)　\({\small (3)}~19\)
→ ユークリッドの互除法

p.137
練習18
\({\small (1)}~x=3~,~y=-7\)
\({\small (2)}~x=20~,~y=-35\)
→ 不定方程式②（互除法）

p.139
練習19
\({\small (1)}~x=7k+2~,~y=-4k-1\)　\(k\) は整数
\({\small (2)}~x=7k+3~,~y=5k+2\)　\(k\) は整数

p.140
練習20
\(x=32k+12~,~y=43k+16\)
\(k\) は整数
→ 不定方程式①

p.141
練習21
\(1078\)
→ 不定方程式の利用

p.142
8
\({\small (1)}~23\)　\({\small (2)}~11\)　\({\small (3)}~13\)

p.142
9
\({\small (1)}~x=7~,~y=-10\)
\({\small (2)}~x=24~,~y=28\)

p.142
10
\({\small (1)}~x=2k+1~,~y=5k+2\)　\(k\) は整数
\({\small (2)}~x=25k-18~,~y=-36k+26\)　\(k\) は整数

p.142
11
\(995\)

p.142
12
ア:\(8\)　イ:\(7\)　ウ:\(5\)　エ:\(3\)　オ:\(5\)
カ:\(2\)

p.143
練習22
\({\small (1)}~0.9\)　\({\small (2)}~0.125\)　\({\small (3)}~1.1\dot{6}\)　\({\small (4)}~2.\dot{2}\dot{4}\)

p.145
練習23
\(3\)

p.146
練習24
\({\Large \frac{7}{4}}~,~{\Large \frac{9}{40}}~,~{\Large \frac{1}{125}}\)
→ 分数と小数

p.148
練習25
\({\small (1)}~36\)　\({\small (2)}~59\)　\({\small (3)}~236\)　\({\small (4)}~55\)
→ n進法①（10進法で表す）

p.148
練習26
\({\small (1)}~101111_{(2)}\)　\({\small (2)}~110111_{(2)}\)
\({\small (3)}~10202_{(3)}\)
→ n進法②（n進法で表す）

p.149
練習27
\(0.1101_{(2)}\)
→ n進法と小数

p.150
13
\(5\)

p.150
14
\({\small (1)}~42\)　\({\small (2)}~73\)　\({\small (3)}~87\)

p.150
15
\({\small (1)}~1100010_{(2)}\)
\({\small (2)}~2011_{(3)}\)

p.150
16
ア:\(1\)　イ:\(1\)　ウ:\(3\)

p.151
1
\(2~,~5~,~8\)

p.151
2
\({\small (1)}~35\)　\({\small (2)}~15\)

p.151
3
\(12\)

p.151
4
\(15\)

p.151
5
[証明] すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3k(9k^2+2)\)
よって、３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3(3k+1)(3k^2+2k+1)\)
よって、３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(~~~~~~n(n^2+2)\)
　\(~=3(3k+2)(3k^2+4k+2)\)
よって、３の倍数となる
したがって、\(n(n^2+2)\) は３の倍数である [終]

p.151
6
\(159\)

p.151
7
\({\small (1)}~x=14k+3~,~y=33k+7\)
\(k\) は整数
\({\small (2)}~x=11k-8~,~y=-30k+22\)
\(k\) は整数

p.151
8
\(17\)

p.151
9
\({\small (1)}~1220_{(5)}\)　\({\small (2)}~0.375\)
\({\small (3)}~0.0111_{(2)}\)

p.152
10
\(3\)

p.152
11
\({\small (1)}~(x,y)=(4,-7)~,~(2,3)\)
　　\((8,-3)~,~(-2,-1)\)
\({\small (2)}~(x,y)=(3,6)~,~(4,4)~,~(6,3)\)

p.152
12
\(a=18~,~b=60~,~c=210\)
または
\(a=36~,~b=60~,~c=210\)

p.152
13
\({\small (1)}~\)[証明]
\(m~,~n\) を整数とすると、
\(a\) と \(a-b\) の公約数が \(k\) であるので、
　\(a=km~,~a-b=kn\)
これらの式より、
　\(km-b=kn\)
よって、
　\(b=k(m-n)\)
ここで、\(m-n\) は整数より \(k\) は \(b\) の約数である [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(1) より、\(a\) と \(a-b\) の最大公約数を \(k\) とすると、\(k\) は \(a\) と \(b\) の正の公約数となる
\(a\) と \(b\) が互いに素のとき \(k=1\) となり、\(a\) と \(a-b\) の最大公約数も \(k=1\) となる
したがって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]

p.152
14
\({\small (1)}~\)[証明] すべての整数を５で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4\)
となる
(ⅰ) \(n=5k\) のとき、
　　\(n^2+n+1\)
　\(=5(5k^2+k)+1\)
よって、５の倍数でない
(ⅱ) \(n=5k+1\) のとき、
　　\(n^2+n+1\)
　\(=5(5k^2+3k)+3\)
よって、５の倍数でない
(ⅲ) \(n=5k+2\) のとき、
　　\(n^2+n+1\)
　\(=5(5k^2+5k+1)+2\)
よって、５の倍数でない
(ⅳ) \(n=5k+3\) のとき、
　　\(n^2+n+1\)
　\(=5(5k^2+7k+2)+3\)
よって、５の倍数でない
(ⅴ) \(n=5k+4\) のとき、
　　\(n^2+n+1\)
　\(=5(5k^2+9k+4)+1\)
よって、５の倍数でない
したがって、\(n^2+n+1\) は５の倍数でない [終]

\({\small (2)}~\)[証明]
\(2n+1=(n+2)+(n-1)\) より、
　　\(n(n+1)(2n+1)\)
　\(=n(n+1)\{(n+2)+(n-1)\}\)
　\(=n(n+1)(n+2)\)
　　　　　\(+n(n+1)(n-1)\)
　\(=n(n+1)(n+2)\)
　　　　　\(+(n-1)n(n+1)\)
ここで、\(n(n+1)(n+2)\) と \((n-1)n(n+1)\) はともに連続する３つの整数となるので、６の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は６の倍数である [終]

【別解】
[証明] \(n\) と \(n+1\) は連続する２つの整数でありどちらか一方は偶数である
よって、\(n(n+1)\) は偶数である
次に、すべての整数を３で割ったときの余りで分類し、整数 \(k\) を用いて表すと
　\(3k,3k+1,3k+2\)
となる
(ⅰ) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が３の倍数となる
(ⅱ) \(n=3k+1\) のとき、
　\(2n+1=3(2k+1)\)
よって、\(2n+1\) が３の倍数となる
(ⅲ) \(n=3k+2\) のとき、
　\(n+1=3(k+1)\)
よって、\(n+1\) が３の倍数となる
(ⅰ)～(ⅲ)のどの場合でも３の倍数となる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は６の倍数である [終]

p.152
15
商品Ａ \(13\) 個、商品Ｂ \(7\) 個

p.152
16
\((x,y)=(4,5)~,~(23,29)\)

p.152
17
\(7\)