東京書籍：Advanced数学Ⅰ

p.119
問1
\({\small (1)}~\)
　\(\sin{A}={\large \frac{4}{5}}~,~\cos{A}={\large \frac{3}{5}}\)
　\(\tan{A}={\large \frac{4}{3}}\)
\({\small (2)}~\)
　\(\sin{A}={\large \frac{\sqrt{7}}{4}}~,~\cos{A}={\large \frac{3}{4}}\)
　\(\tan{A}={\large \frac{\sqrt{7}}{3}}\)

p.120
問2
\({\small (1)}~\)
　\(\sin{A}={\large \frac{3}{\sqrt{13}}}~,~\cos{A}={\large \frac{2}{\sqrt{13}}}\)
　\(\tan{A}={\large \frac{3}{2}}\)
\({\small (2)}~\)
　\(\sin{A}={\large \frac{8}{17}}~,~\cos{A}={\large \frac{15}{17}}\)
　\(\tan{A}={\large \frac{8}{15}}\)
\({\small (3)}~\)
　\(\sin{A}={\large \frac{3\sqrt{5}}{7}}~,~\cos{A}={\large \frac{2}{7}}\)
　\(\tan{A}={\large \frac{3\sqrt{5}}{2}}\)
→ 直角三角形と三角比

p.121
問3
\({\small (1)}~0.2588\)　\({\small (2)}~0.3907\)
\({\small (3)}~0.7813\)

p.121
問4
\({\small (1)}~75^\circ\)　\({\small (2)}~23^\circ\)　\({\small (3)}~67^\circ\)

p.121
問5
\({\small (1)}~58^\circ\)　\({\small (2)}~37^\circ\)

p.122
問6
\(5\sqrt{2}\)

p.122
問7
\(2\sqrt{3}\)
→ 三角比の値（鋭角）

p.123
問8
\(162\) ｍ

p.123
問9
\(240\) ㎝

p.124
問10
\(\cos{A}={\large \frac{2\sqrt{2}}{3}}~,~\tan{A}={\large \frac{1}{2\sqrt{2}}}\)

p.125
問11
\(\cos{A}={\large \frac{2\sqrt{5}}{5}}~,~\sin{A}={\large \frac{\sqrt{5}}{5}}\)
→ 三角比の相互関係の公式（鋭角）

p.127
問12
\({\small (1)}~\cos{34^\circ}\)　\({\small (2)}~\sin{3^\circ}\)
\({\small (3)}~{\large \frac{1}{\tan{18^\circ}}}\)
→ 余角の公式

p.127
1
約 \(634\) ｍ

p.127
2
\({\small (1)}~c\sin{A}\)　\({\small (2)}~c\sin{A}\cos{A}\)
\({\small (3)}~c\sin^2{A}\)

p.127
3
\({\small (1)}~{\large \frac{12}{13}}\)　\({\small (2)}~{\large \frac{12}{5}}\)　\({\small (3)}~{\large \frac{5}{13}}\)　\({\small (4)}~{\large \frac{12}{13}}\)

p.127
4
\({\small (1)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
　\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
　\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、
　\({\large \frac{{\rm A+B}}{2}}=90^\circ-{\large \frac{{\rm C}}{2}}\)
ここで、\(\sin{(90^\circ-\theta)}=\cos{\theta}\) より、
　\(\sin{{\large \frac{{\rm A+B}}{2}}}=\sin{\left(90^\circ-{\large \frac{{\rm C}}{2}}\right)}=\cos{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}\)
したがって、
　\(\sin{{\large \frac{{\rm A+B}}{2}}}=\cos{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}\) [終]

\({\small (2)}~\)[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和の条件より、
　\({\rm A+B+C}=180^\circ\)
よって、
　\({\rm A+B}=180^\circ-{\rm C}\)
これより、
　\(~~~~~~\tan{{\large \frac{{\rm A+B}}{2}}}\tan{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}\)
　\(~=\tan{\left(90^\circ-{\large \frac{{\rm C}}{2}}\right)}\tan{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}\)
ここで、\(\tan{(90^\circ-\theta)}={\large \frac{1}{\tan{\theta}}}\) より、
　\(~={\large \frac{1}{\tan{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}}}\tan{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}=1\)
したがって、
　\(\tan{{\large \frac{{\rm A+B}}{2}}}\tan{{\large \frac{{\rm C}}{2}}}=1\) [終]

p.129
問1
\(\sin{135^\circ}={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}~,~\cos{135^\circ}=-{\large \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(\tan{135^\circ}=-1\)
\(\sin{150^\circ}={\large \frac{1}{2}}~,~\cos{150^\circ}=-{\large \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\tan{135^\circ}=-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
→ 三角比の拡張

p.131
問2
\({\small (1)}~60^\circ~,~120^\circ\)　\({\small (2)}~180^\circ\)

p.131
問3
\(60^\circ\)

p.132
問4
\({\small (1)}~60^\circ\)　\({\small (2)}~135^\circ\)
→ 三角比と方程式

p.133
問5
\(-1\)

p.133
問6
\({\small (1)}~120^\circ\)　\({\small (2)}~45^\circ\)
→ 直線の傾きと正接

p.135
問7
\({\small (1)}~\)
\(\theta\) が鋭角のとき
　\(\cos{\theta}={\large \frac{12}{13}}~,~\tan{\theta}={\large \frac{5}{12}}\)
\(\theta\) が鈍角のとき
　\(\cos{\theta}=-{\large \frac{12}{13}}~,~\tan{\theta}=-{\large \frac{5}{12}}\)

\({\small (2)}~\)
\(\sin{\theta}={\large \frac{\sqrt{15}}{4}}~,~\tan{\theta}=-\sqrt{15}\)

p.135
問8
\(\cos{\theta}=-{\large \frac{3\sqrt{10}}{10}}~,~\sin{\theta}={\large \frac{\sqrt{10}}{10}}\)
→ 三角比の相互関係の公式（鈍角）

p.136
問9
\({\small (1)}~0.6428\)　\({\small (2)}~-0.4695\)
\({\small (3)}~-0.3057\)
→ 補角の公式

p.137
5
\(45^\circ\) または \(135^\circ\)

p.137
6
\({\small (1)}~0.588\)　\({\small (2)}~-0.809\)
\({\small (3)}~-0.727\)　\({\small (4)}~0.809\)
\({\small (5)}~-0.588\)

p.137
7
\({\small (1)}~\)
\(\theta\) が鋭角のとき
　\(\cos{\theta}={\large \frac{\sqrt{7}}{4}}~,~\tan{\theta}={\large \frac{3}{\sqrt{7}}}\)
\(\theta\) が鈍角のとき
　\(\cos{\theta}=-{\large \frac{\sqrt{7}}{4}}~,~\tan{\theta}=-{\large \frac{3}{\sqrt{7}}}\)
\({\small (2)}~\)
\(\cos{\theta}=-{\large \frac{\sqrt{5}}{3}}~,~\sin{\theta}={\large \frac{2}{3}}\)

p.137
8
[証明]
\(\tan{\theta}={\large \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}}\) より、\({\large \frac{1}{\tan^2{\theta}}}={\large \frac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
これより、
　(左辺)
\(~=1+{\large \frac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
\(~={\large \frac{\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}}}\)
ここで、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) より
\(~={\large \frac{1}{\sin^2{\theta}}}\)
よって、右辺と等しくなる
したがって、
　\(1+{\large \frac{1}{\tan^2{\theta}}}={\large \frac{1}{\sin^2{\theta}}}\) [終]
→ 三角比の等式証明

p.137
9
\({\small (1)}~\cos{\theta}\)　\({\small (2)}~-\sin{\theta}\)

p.137
10
\(75^\circ\)

p.140
問1
\(b={\large \frac{10\sqrt{6}}{3}}~,~R={\large \frac{10\sqrt{3}}{3}}\)

p.140
問2
\(4\sqrt{2}\)

p.141
問3
\({\rm B}=30^\circ~,~{\rm C}=15^\circ\)

p.141
問4
\({\rm A}=90^\circ~,~{\rm B}=60^\circ~,~a=4\sqrt{3}\)
または
\({\rm A}=30^\circ~,~{\rm B}=120^\circ~,~a=2\sqrt{3}\)
→ 正弦定理

p.142
問5
\(\sqrt{7}\)

p.143
問6
\(2\)

p.143
問7
\({\rm C}=60^\circ\)
→ 余弦定理

p.144
問8
\({\small (1)}~\)鈍角　\({\small (2)}~\)鋭角

p.144
問9
鈍角三角形
→ 三角形の辺と角の条件

p.145
問10
\(b=2\sqrt{2}~,~{\rm A}=60^\circ~,~{\rm C}=75^\circ\)

p.146
問11
\({\small (1)}~{\large \frac{5\sqrt{3}}{2}}\)　\({\small (2)}~7\sqrt{2}\)

p.146
問12
\(14\sqrt{3}\)
→ 三角形の面積（三角比）

p.147
問13
\({\rm AD}=1~,~S=6\sqrt{3}\)
→ 円に内接する四角形

p.148
問14
\({\large \frac{2\sqrt{6}}{3}}\)
→ 内接円の半径

p.149
問15
\(3\sqrt{14}\)
→ 直方体の計量

p.150
問16
\({\large \frac{\sqrt{2}}{12}}a^3\)
→ 正四面体の計量

p.151
11
\(a^2+b^2=c^2\)
\({\rm C}=90^\circ\) の直角三角形

p.151
12
\({\small (1)}~\sqrt{13}\)　\({\small (2)}~{\large \frac{5\sqrt{13}}{26}}\)　\({\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{37}}{2}}\)

p.151
13
\({\small (1)}~{\rm C}=45^\circ~,~S={\large \frac{3}{2}}\)
\({\small (2)}~{\rm C}=30^\circ~,~a=\sqrt{3}-1~,~S={\large \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\)
→ 余弦定理と２次方程式

p.151
14
\({\small (1)}~{\large \frac{3}{2}}\)　\({\small (2)}~12-6\sqrt{3}\)
→ 角の二等分線の長さ

p.151
15
\(-{\large \frac{1}{3}}\)

p.152
発展1
\({\small (1)}~{\rm AC=BC}\) の二等辺三角形
\({\small (2)}~{\rm A}=90^\circ\) の直角三角形
または、\({\rm B}=90^\circ\) の直角三角形

p.153
発展1
\(10\sqrt{2}\)

p.154
1
[証明] \({\rm A}\) から辺 \({\rm BC}\) に下ろした垂線を \({\rm AH}\) とすると、
　\(\cos{{\rm B}}={\rm \large \frac{BH}{AB}}\)
これより、
　\({\rm BH}=c\cos{{\rm B}}\)
また、
　\(\cos{{\rm C}}={\rm \large \frac{CH}{AC}}\)
これより、
　\({\rm CH}=b\cos{{\rm C}}\)
したがって、\({\rm BC=CH+BH}\) より、
　\(a=b\cos{{\rm C}}+c\cos{{\rm B}}\) [終]

p.154
2
[証明] 正弦定理より、
　\({\large \frac{c}{\sin{{\rm C}}}}=2R\)
これより、
　\(\sin{{\rm C}}={\large \frac{c}{2R}}\)
また、面積公式は、
　\(S={\large \frac{1}{2}}bc\sin{{\rm C}}\)
上の式を代入すると、
　\(S={\large \frac{1}{2}}bc{\large \frac{c}{2R}}\)
したがって、
　\(S={\large \frac{abc}{4R}}\) [終]

p.154
3
\(3\)

p.154
4
\({\small (1)}~{\rm BD}=\sqrt{37}~,~\cos{\angle{\rm BAD}}=-{\large \frac{1}{10}}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{21\sqrt{11}}{4}}\)

p.154
5
\({\small (1)}~{\rm DP}=\sqrt{13}~,~{\rm PQ}=\sqrt{3}~,~{\rm QD}=2\sqrt{3}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1}{6}}\)　\({\small (3)}~{\large \frac{\sqrt{35}}{2}}\)

p.154
6
\({\large \frac{1}{5}}\)

p.155
7
\(S={\large \frac{1}{2}}lm\sin{\theta}\)

p.155
8
\({\small (1)}~{\large \frac{\sqrt{2}}{2}}\)　\({\small (2)}~60^\circ\)　\({\small (3)}~{\large \frac{3\sqrt{3}}{2}}\)　\({\small (4)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{3}}\)

p.155
9
\({\small (1)}~x^2-2x-4=0~,~1+\sqrt{5}\)
\({\small (2)}~{\large \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\)

p.155
10
\({\small (1)}~18\sqrt{2}\)　\({\small (2)}~{\large \frac{\sqrt{6}}{2}}\)