このページは、数研出版：高等学校数学Ⅱ[710]
第３章 図形と方程式
第３章 図形と方程式
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高等学校数学Ⅱ 第１章 式と証明
高等学校数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
高等学校数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
高等学校数学Ⅱ 第４章 三角関数
高等学校数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
高等学校数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第３章 図形と方程式
第１節 点と直線
p.69 練習2\({\small (1)}~1:2\) に内分
\({\small (2)}~3:2\) に外分
\({\small (3)}~1:3\) に外分
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
\({\small (2)}~3:2\) に外分
\({\small (3)}~1:3\) に外分
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.70 練習3\({\small (1)}~{\rm C}\left(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,5\,}\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(10)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.71 練習4\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\) \({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\sqrt{13}\)
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
p.72 練習6[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、点 \({\rm D}\) を原点にとる
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.72 深める点 \({\rm A}\) が \(y\) 軸上に定まるので不適
p.74 練習7\({\small (1)}~{\rm C}\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}~,~4\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(11~,~8)\) \({\small (3)}~{\rm E}(-17~,~-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
p.75 練習9\(~~~\left(\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+x_3\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,y_1+y_2+y_3\,}{\,3\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
p.75 練習10\({\small (1)}~\left(3~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,}\right)\) \({\small (2)}~\left(0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
p.78 練習13\({\small (1)}~y=2x-4\) \({\small (2)}~y=-2x+2\)
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
p.78 練習14[証明] ２点 \((a~,~0)~,~(0~,~b)\) を通る直線であるので、
\(y-0=\displaystyle \frac{\,b-0\,}{\,0-a\,}(x-a)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+b\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,bx\,}{\,a\,}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,b\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
\(y-0=\displaystyle \frac{\,b-0\,}{\,0-a\,}(x-a)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}x+b\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,bx\,}{\,a\,}+y=b\)
両辺を \(b\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,a\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,b\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
p.80 練習16\({\small (1)}~\)平行 \({\small (2)}~\)垂直
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直
解法のPoint｜2直線の平行と垂直の判別方法
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直
解法のPoint｜2直線の平行と垂直の判別方法
p.82 練習19\({\small (1)}~\sqrt{5}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\sqrt{13}\,}{\,13\,}\)
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
p.83 練習20\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\) \({\small (3)}~\sqrt{10}\)
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
p.84 深める③は、\(x+2y-4=0\) を表すことができない
④は、\(x-y-1=0\) を表すことができない
④は、\(x-y-1=0\) を表すことができない
問題
p.85 問題 1[証明]
２点間の距離の公式より、
\({\rm OA}^2=6^2+2^2=40\)
\({\rm OB}^2=2^2+4^2=20\)
\({\rm AB}^2=(2-6)^2+(4-2)^2=20\)
これらより、
\({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
\(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
２点間の距離の公式より、
\({\rm OA}^2=6^2+2^2=40\)
\({\rm OB}^2=2^2+4^2=20\)
\({\rm AB}^2=(2-6)^2+(4-2)^2=20\)
これらより、
\({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
\(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
p.85 問題 2\({\small (1)}~\) \(\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\) \({\small (2)}~\) \((-1~,~4)\)
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p.85 問題 6\(a_1x+b_1y+c_1=0\) の傾きは、\(b_1\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
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\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(a_2x+b_2y+c_2=0\) の傾きは、\(b_2\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
2直線が平行のとき傾きが等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が垂直のとき、傾きの積が \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
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p.85 問題 7[証明] 直線 \(y=x\) を \(l\) とし、直線 \(l\) に関して点 \({\rm A}(a~,~b)\) と対称な点を \((p~,~q)\) とおく
直線 \(l\) の傾きは、\(1\) である
また、点 \({\rm A}\) と点 \((p~,~q)\) を通る直線の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}\) であり、直線 \(l\) と垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}&=&-1
\\[5pt]~~~q-b&=&-(p-a)
\\[3pt]~q-b&=&-p+a
\\[3pt]~p+q&=&a+b~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と点 \((p~,~q)\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}\right)\)
この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(y=x\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}
\\[5pt]~b+q&=&a+p
\\[3pt]~-p+q&=&a-b~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
p+q&=&a+b \\~~
+\big{)}~~~-p+q&=&a-b\\
\hline 2q&=&2a
\\[3pt] q&=&a\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p+a&=&a+b
\\[3pt]~~~p&=&b\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と直線 \(l\) に関して対称な点の座標は \((b~,~a)\) となる
よって、2点 \({\rm A}(a~,~b)\)、\({\rm B}(b~,~a)\) は、直線 \(y=x\) に関して対称である [終]
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直線 \(l\) の傾きは、\(1\) である
また、点 \({\rm A}\) と点 \((p~,~q)\) を通る直線の傾きは、\(\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}\) であり、直線 \(l\) と垂直に交わるので、傾きの積は \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot\displaystyle\frac{\,q-b\,}{\,p-a\,}&=&-1
\\[5pt]~~~q-b&=&-(p-a)
\\[3pt]~q-b&=&-p+a
\\[3pt]~p+q&=&a+b~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と点 \((p~,~q)\) の中点 \({\rm M}\) の座標は、
\({\rm M}\left(\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}\right)\)
この点 \({\rm M}\) は直線 \(l\) 上にあるので、\(y=x\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~\displaystyle\frac{\,b+q\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,a+p\,}{\,2\,}
\\[5pt]~b+q&=&a+p
\\[3pt]~-p+q&=&a-b~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~
p+q&=&a+b \\~~
+\big{)}~~~-p+q&=&a-b\\
\hline 2q&=&2a
\\[3pt] q&=&a\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~p+a&=&a+b
\\[3pt]~~~p&=&b\end{eqnarray}\)
したがって、点 \({\rm A}(a~,~b)\) と直線 \(l\) に関して対称な点の座標は \((b~,~a)\) となる
よって、2点 \({\rm A}(a~,~b)\)、\({\rm B}(b~,~a)\) は、直線 \(y=x\) に関して対称である [終]
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p.85 問題 8\({\small (1)}~\) \(4x+3y-10=0\) \({\small (2)}~\) \(2\) \({\small (3)}~\) \(10\)
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第２節 円
p.86 練習21\({\small (1)}~x^2+y^2=4\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
p.87 練習24\({\small (1)}~\)中心 \((-2~,~1)\)、半径 \(3\)
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~-4)\)、半径 \(4\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
解法のPoint｜方程式が円を表す条件
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~-4)\)、半径 \(4\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
解法のPoint｜方程式が円を表す条件
p.90 練習27\({\small (1)}~-5{\small ~≦~}m{\small ~≦~}5\) \({\small (2)}~\)
\(m=5\) のとき \((-2~,~1)\)
\(m=-5\) のとき \((2~,~-1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
\(m=5\) のとき \((-2~,~1)\)
\(m=-5\) のとき \((2~,~-1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
p.91 深める\(~~~(3~,~1)\)
p.93 練習29\({\small (1)}~3x+y-10=0\) \({\small (2)}~2x-3y-13=0\)
\({\small (3)}~x=4\) \({\small (4)}~y=-\sqrt{5}\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
\({\small (3)}~x=4\) \({\small (4)}~y=-\sqrt{5}\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
p.93 練習30\(~~~y=1~,~(0~,~1)\)
\(~~~4x-3y-5=0~,~\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\)
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\(~~~4x-3y-5=0~,~\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\)
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問題
p.98 問題 9\({\small (1)}~\) 中心の座標 \(\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,10\,}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
\({\small (2)}~\) \(\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
\({\small (2)}~\) \(\left(x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2=\displaystyle \frac{\,13\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
p.98 問題 12\({\small (1)}~\) \(-5\sqrt{\,2\,} \lt c \lt 5\sqrt{\,2\,}\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\) \(x^2+y^2-x-3y=0\)
解法のPoint｜円と直線との2つの共有点を通る円の方程式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\) \(x^2+y^2-x-3y=0\)
解法のPoint｜円と直線との2つの共有点を通る円の方程式
p.98 問題 15最大値 \(8\)、最小値 \(2\)
\(\left(\displaystyle \frac{\,14\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,22\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜円上の点との距離の最大値・最小値
\(\left(\displaystyle \frac{\,14\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,22\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜円上の点との距離の最大値・最小値
第３節 軌跡と領域
p.99 練習34点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=8~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2-\left\{(x-1)^2+y^2\right\}&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-(x^2-2x+1+y^2)&=&8\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2-x^2+2x-1-y^2&=&8\\[3pt]~~~4x&=&8\\[3pt]~~~x&=&2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=2\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.100 練習35点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+3)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-2)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+6x+9+y^2)&=&9(x^2-4x+4+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2&=&9x^2-36x+36+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2-9x^2+36x-36-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+60x-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-12x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-6)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
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p.101 練習36点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(y=x+2\) 上にあるので、
\(t=s+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 1+2\cdot s\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1+2s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&1+2s
\\[3pt]~~~2s&=&3x-1
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 6+2\cdot t\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,6+2t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&6+2t
\\[3pt]~~~2t&=&3y-6
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~3y-6&=&3x-1+4~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~~~3y-6&=&3x+3
\\[3pt]~~~3y&=&3x+9
\\[3pt]~~~y&=&x+3\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(y=x+3\) 上にある
逆に、直線 \(y=x+3\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=x+3\) である
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点 \({\rm Q}\) は直線 \(y=x+2\) 上にあるので、
\(t=s+2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 1+2\cdot s\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,1+2s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&1+2s
\\[3pt]~~~2s&=&3x-1
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot 6+2\cdot t\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,6+2t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&6+2t
\\[3pt]~~~2t&=&3y-6
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,3y-6\,}{\,2\,}&=&\displaystyle\frac{\,3x-1\,}{\,2\,}+2
\\[5pt]~~~3y-6&=&3x-1+4~(\,∵~{\, \small \times \,} 2\,)
\\[3pt]~~~3y-6&=&3x+3
\\[3pt]~~~3y&=&3x+9
\\[3pt]~~~y&=&x+3\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(y=x+3\) 上にある
逆に、直線 \(y=x+3\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=x+3\) である
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p.103 練習37\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
境界線を含む
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
p.104 練習38\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含む
\({\small (4)}~\)
境界線を含まない
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
p.106 練習39\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
境界線を含まない
\({\small (2)}~\)
境界線を含む
\({\small (3)}~\)
境界線を含まない
\({\small (4)}~\)
境界線を含む
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
p.107 深める \(x=4~,~y=0\) で最大値 \(12\)
p.108 練習42[証明] 不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) ならば \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) である [終]
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中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) ならば \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) である [終]
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問題
p.110 問題 16点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
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点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2+{\rm BP}^2=10~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2&=&10\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2&=&10\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+2&=&10\\[3pt]~~~2x^2+2y^2&=&8\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&4\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~0)\) 、半径 \(2\) の円である
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p.110 問題 20\(x=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)、\(y=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最大値 \(\sqrt{\,2\,}\)
\(x=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)、\(y=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\)
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\(x=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\)、\(y=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}\) のとき最小値 \(-\sqrt{\,2\,}\)
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p.110 問題 21\({\small (1)}~\)[証明] 点Pの座標を \((x~,~y)\) とおくと、
\(\angle{\rm APB}=90°\) のとき三平方の定理より \({\rm AP}^2+{\rm BP}^2={\rm AB}^2\) が成り立つので、
解法のPoint｜条件を満たす点Pの軌跡
\(\angle{\rm APB}=90°\) のとき三平方の定理より \({\rm AP}^2+{\rm BP}^2={\rm AB}^2\) が成り立つので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}^2&=&\{x-(-1)\}^2+y^2=(x+1)^2+y^2\\[3pt]~~~{\rm BP}^2&=&(x-1)^2+y^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&\{1-(-1)\}^2=4\end{eqnarray}\)
代入して整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2&=&4\\[3pt]~~~x^2+2x+1+y^2+x^2-2x+1+y^2&=&4\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+2&=&4\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、点Pは原点を中心とする半径 \(1\) の円上にある [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 原点を中心とする半径 \(1\) の円の方程式は \(x^2+y^2=1\) であり、この円は \({\rm A}(-1~,~0)\) および \({\rm B}(1~,~0)\) を通る
点Pが点 \({\rm A}(-1~,~0)\) に一致するとき、PとAは同じ点であるから \(\angle{\rm APB}\) は定義されず、\(\angle{\rm APB}=90°\) を満たさない
また、点Pが点 \({\rm B}(1~,~0)\) に一致するときも同様に \(\angle{\rm APB}\) は定義されず、\(\angle{\rm APB}=90°\) を満たさない
したがって、点Pが原点を中心とする半径 \(1\) の円上にあっても \(\angle{\rm APB}=90°\) が成り立つとは限らない [終]
解法のPoint｜条件を満たす点Pの軌跡
章末問題 図形と方程式
p.111 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,|x_1 y_2 – x_2 y_1|\,}{\,\sqrt{\,x_1^{\,2}+y_1^{\,2}\,}\,}\)
\({\small (2)}~\)[証明] 辺 \({\rm OA}\) の長さは、
\(x\) 座標の差が \(|\,x_1-0\,|=|\,x_1\,|\)
\(y\) 座標の差が \(|\,y_1-0\,|=|\,y_1\,|\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~{\rm OA}&=&\sqrt{x_1^2+y_1^2}\end{eqnarray}\)
以上より、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] 辺 \({\rm OA}\) の長さは、
\(x\) 座標の差が \(|\,x_1-0\,|=|\,x_1\,|\)
\(y\) 座標の差が \(|\,y_1-0\,|=|\,y_1\,|\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~{\rm OA}&=&\sqrt{x_1^2+y_1^2}\end{eqnarray}\)
以上より、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される [終]
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p.111 章末問題A 7\({\small (1)}~\) \((4-a~,~2-b)\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x+y+1=0\) 上にあるので、
\(2a+b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
(1)より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-a
\\[3pt]~~~a&=&4-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-b
\\[3pt]~~~b&=&2-y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)+(2-y)+1&=&0
\\[3pt]~~~8-2x+2-y+1&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y+11&=&0
\\[3pt]~~~2x+y-11&=&0\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(2x+y-11=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x+y-11=0\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x+y-11=0\) である
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\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x+y+1=0\) 上にあるので、
\(2a+b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
(1)より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-a
\\[3pt]~~~a&=&4-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-b
\\[3pt]~~~b&=&2-y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)+(2-y)+1&=&0
\\[3pt]~~~8-2x+2-y+1&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y+11&=&0
\\[3pt]~~~2x+y-11&=&0\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(2x+y-11=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x+y-11=0\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x+y-11=0\) である
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p.111 章末問題A 8\({\small (1)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}y {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[6pt]y {\small ~≦~} -x+6\\[6pt]y {\small ~≧~} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\\y {\small ~≧~} -x+1\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\\y {\small ~≧~} -x+1\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
p.112 章末問題B 11\({\small (1)}~\) \(a=-2\) \({\small (2)}~\) \((2~,~1)\)
\({\small (3)}~\) \(-2\) \({\small (4)}~\) \(y=-2x+10\)
解法のPoint｜(x-a)²+(y-b)²=r²上の点における接線の方程式
\({\small (3)}~\) \(-2\) \({\small (4)}~\) \(y=-2x+10\)
解法のPoint｜(x-a)²+(y-b)²=r²上の点における接線の方程式
p.112 章末問題B 12\({\small (1)}~\) \((a+3~,~3a^2+6a-1)\)
\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a+3~,~3a^2+6a-1)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a+3\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=3a^2+6a-1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(a=x-3\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y=3(x-3)^2+6(x-3)-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-18x+27+6x-18-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+8
\end{eqnarray}\)
\(y=3x^2-12x+8~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は放物線 \(y=3x^2-12x+8\) である。
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\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a+3~,~3a^2+6a-1)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a+3\hspace{37pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=3a^2+6a-1~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より \(a=x-3\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&y=3(x-3)^2+6(x-3)-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-18x+27+6x-18-1
\\[3pt]~~~&=&3x^2-12x+8
\end{eqnarray}\)
\(y=3x^2-12x+8~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、放物線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は放物線 \(y=3x^2-12x+8\) である。
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