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第１章 式と証明
第２章 複素数と方程式
第３章 図形と方程式
第４章 三角関数
第５章 指数関数と対数関数
第６章 微分法と積分法
第６章 微分法と積分法
第１節 微分係数と導関数
p.182 練習1$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~-4-h$$→ 平均変化率
p.183 練習2$${\small (1)}~5$$$${\small (2)}~6$$$${\small (3)}~12$$→ 極限値
p.184 練習3$${\small (1)}~6$$$${\small (2)}~-12$$$${\small (3)}~6a$$→ 微分係数
p.185 練習4$${\small (1)}~2$$$${\small (2)}~-4$$
p.187 練習5\({\small (1)}~\)$$\begin{split}&f'(x)\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,3(x+h)-3x\,}{h}\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,3h\,}{h}\\[2pt]~~=~&3\end{split}$$
\({\small (2)}~\)$$\begin{split}&f'(x)\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,-(x+h)^2-(-x^2)\,}{h}\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,-2xh-h^2\,}{h}\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}(-2x-h)\\[2pt]~~=~&-2x\end{split}$$→ 導関数
\({\small (2)}~\)$$\begin{split}&f'(x)\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,-(x+h)^2-(-x^2)\,}{h}\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}\frac{\,-2xh-h^2\,}{h}\\[2pt]~~=~&\lim_{h\to0}(-2x-h)\\[2pt]~~=~&-2x\end{split}$$→ 導関数
p.187 練習6$${\small (1)}~y’=4x^3$$$${\small (2)}~y’=5x^4$$
p.189 練習7$${\small (1)}~y’=8x+3$$$${\small (2)}~y’=-6x+1$$$${\small (3)}~y’=12x^2-4x-5$$$${\small (4)}~y’=-4x^3-1$$$${\small (5)}~y’=2x^2+{ \frac{\,3\,}{2}}x-{ \frac{1}{\,2\,}}$$$${\small (6)}~y’=-{ \frac{\,3\,}{2}}x^2+3x$$
p.189 練習8$${\small (1)}~y’=2x+5$$$${\small (2)}~y’=3x^2-4$$$${\small (3)}~y’=-6x^2+8x+6$$$${\small (4)}~y’=12x^3-24x$$→ 微分の計算
p.190 練習9$${\small (1)}~0$$$${\small (2)}~0$$$${\small (3)}~24$$
p.190 練習10$$~~~f(x)=2x^2-3x+2$$→ ２次関数の決定（微分係数の利用）
p.191 練習11$${\small (1)}~s’=6t-4$$$${\small (2)}~f'(t)=3at^2+2bt$$
p.191 練習12$$~~~{ \frac{\,dV\,}{dr}}=4\pi r^2~,~{ \frac{\,dS\,}{dr}}=8\pi r$$
p.192 練習13$$~~~y=4x-5$$→ 接線の方程式①
p.192 深める傾き \(0\)
\(y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4\) より、頂点は \((2~,~4)\)
よって、\(x=2\) での接線の傾きは \(y’=-2x+4\) より、$$~~~-2\times 2+4=0$$
\(y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4\) より、頂点は \((2~,~4)\)
よって、\(x=2\) での接線の傾きは \(y’=-2x+4\) より、$$~~~-2\times 2+4=0$$
p.193 練習14$${\small (1)}~y=4x-3~,~y=-8x-15$$$${\small (2)}~y=2x~,~y=-6x$$→ 接線の方程式②（外部の点から引いた接線）
p.193 深める\(y=x^2+3~,~y=-2x+2\) より、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+3&=&-2x+2\\[2pt]~~~x^2+2x+1&=&0\\[2pt]~~~(x+1)^2&=&0\\[2pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}$$これより、重解をもつ
また、\(y=x^2+3~,~y=6x-6\) より、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+3&=&6x-6\\[2pt]~~~x^2-6x+9&=&0\\[2pt]~~~(x-3)^2&=&0\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}$$これより、重解をもつ
また、\(y=x^2+3~,~y=6x-6\) より、$$\begin{eqnarray}~~~x^2+3&=&6x-6\\[2pt]~~~x^2-6x+9&=&0\\[2pt]~~~(x-3)^2&=&0\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}$$これより、重解をもつ
問題
p.194 問題 3\({\small (1)}~\)[証明] \(y=a^2x^2+2abx+b^2\) より、微分すると、
\(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\\[2pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)\\[2pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}$$したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]
\(y’=2a^2x+2ab=2a(ax+b)\)
したがって、
\(y=(ax+b)^2\) のとき \(y’=2a(ax+b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(y=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3\) より、微分すると、$$\begin{eqnarray}~~~y’&=&3a^3x^2+6a^2bx+3a^2\\[2pt]~~~&=&3a(a^2x^2+2abx+b^2)\\[2pt]~~~&=&3a(ax+b)^2\end{eqnarray}$$したがって、
\(y=(ax+b)^3\) のとき \(y’=3a(ax+b)^2\) [終]
第２節 関数の値の変化
p.196 練習15\({\small (1)}~\)
\(x≦0\) で増加
\(0≦x≦4\) で減少
\(4≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
\(x≦-1\) で減少
\(-1≦x≦0\) で増加
\(0≦x\) で減少
\(x≦0\) で増加
\(0≦x≦4\) で減少
\(4≦x\) で増加
\({\small (2)}~\)
\(x≦-1\) で減少
\(-1≦x≦0\) で増加
\(0≦x\) で減少
p.198 練習16\({\small (1)}~\)
\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=2\) で極大値 \(5\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
→ ３次関数のグラフと増減表
\(x=1\) で極大値 \(4\)
\(x=3\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=2\) で極大値 \(5\)
\(x=0\) で極小値 \(1\)
→ ３次関数のグラフと増減表
p.198 練習17\({\small (1)}~\)\(f'(x)=-3x^2\) より、
\(f'(x)=0\) とすると \(x=0\)
\(f(x)\) の増減表は、
\(f'(x)=0\) とすると \(x=0\)
\(f(x)\) の増減表は、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(0\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f(x)\) | ↘︎ | \(0\) | ↘︎ |
これより、\(f(x)\) は常に減少して極値をもたない
\({\small (2)}~\)\(f'(x)=3x^2+1\) より、
\(3x^2≧0\) より、常に \(f'(x)>0\)
これより、\(f(x)\) は常に増加して極値をもたない
p.199 練習18\({\small (1)}~\)
\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=\pm2\) で極小値 \(-14\)
\({\small (3)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
\(x=2\) で極大値 \(0\)
\({\small (4)}~\)
\(x=3\) で極小値 \(-15\)
→ ４次関数のグラフと増減表
\(x=-2\) で極小値 \(-27\)
\(x=0\) で極大値 \(5\)
\(x=1\) で極小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(2\)
\(x=\pm2\) で極小値 \(-14\)
\({\small (3)}~\)
\(x=0\) で極大値 \(0\)
\(x=1\) で極小値 \(-1\)
\(x=2\) で極大値 \(0\)
\({\small (4)}~\)
\(x=3\) で極小値 \(-15\)
→ ４次関数のグラフと増減表
p.202 練習20\({\small (1)}~\)
\(x=2\) で最大値 \(20\)
\(x=-3~,~0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=1\) で最大値 \(1\)
\(x=2\) で最小値 \(-2\)
\({\small (3)}~\)
\(x=-1\) で最大値 \(6\)
\(x={\large \frac{\,3\,}{2}}\) で最小値 \({\large \frac{\,21\,}{16}}\)
→ ３次関数の最大値・最小値
\(x=2\) で最大値 \(20\)
\(x=-3~,~0\) で最小値 \(0\)
\({\small (2)}~\)
\(x=1\) で最大値 \(1\)
\(x=2\) で最小値 \(-2\)
\({\small (3)}~\)
\(x=-1\) で最大値 \(6\)
\(x={\large \frac{\,3\,}{2}}\) で最小値 \({\large \frac{\,21\,}{16}}\)
→ ３次関数の最大値・最小値
p.202 深める① 平方完成すると、$$~~~y=(x-2)^2-1$$よって、\(x=2\) のとき最小値 \(-1\)
② 微分すると、\(y’=2x-4\)
\(y’=0\) とすると、\(x=2\)
増減表をかくと、
② 微分すると、\(y’=2x-4\)
\(y’=0\) とすると、\(x=2\)
増減表をかくと、
| \(x\) | \(\cdots\) | \(2\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | ↘︎ | \(-1\) | ↗︎ |
これより、\(x=2\) のとき最小値 \(-1\)
p.203 練習21$$~~~2~{\rm cm}$$
p.204 練習22\({\small (1)}~\)３個
\({\small (2)}~\)１個
\({\small (3)}~\)２個
\({\small (4)}~\)４個
→ ３次方程式の解の個数①
\({\small (2)}~\)１個
\({\small (3)}~\)２個
\({\small (4)}~\)４個
→ ３次方程式の解の個数①
p.205 練習23$$~~~a<-1~,~0<a$$→ ３次方程式の解の個数②（定数分離法）
p.206 練習24[証明]
\(f(x)=(x^3+3x^2+5)-9x\) とすると、$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&3x^2+6x-9\\[2pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}$$よって、\(x≧0\) での増減表は
\(f(x)=(x^3+3x^2+5)-9x\) とすると、$$\begin{eqnarray}~~~f'(x)&=&3x^2+6x-9\\[2pt]~~~&=&3(x+3)(x-1)\end{eqnarray}$$よって、\(x≧0\) での増減表は
| \(x\) | \(0\) | \(\cdots\) | \(1\) | \(\cdots\) |
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(f(x)\) | \(5\) | ↘︎ | \(0\) | ↗︎ |
よって、\(x≧0\) で最小値が \(0\) であるので、
\(f(x)≧0\)
したがって、\(x≧0\) のとき
\(x^3+3x^2+5≧9x\)
また、等号が成り立つときは \(x=1\) のとき [終]
→ ３次不等式の証明
第３節 積分法
p.208 練習25 ②、④
p.209 練習26[証明]
\(n\) が \(0\) または正の整数のとき、$$~~~F(x)={ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n+1}$$とすると、$$~~~F'(x)=(n+1)\cdot{ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n}=x^n$$よって、\(x^n\) の不定積分の１つは \(F(x)\) である
したがって、$$~~~\int x^n dx={ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n+1}+C$$[終]
また、\(C\) を積分定数として$$~~~\int x^3 dx={ \frac{1}{\,4\,}}x^4+C$$
\(n\) が \(0\) または正の整数のとき、$$~~~F(x)={ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n+1}$$とすると、$$~~~F'(x)=(n+1)\cdot{ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n}=x^n$$よって、\(x^n\) の不定積分の１つは \(F(x)\) である
したがって、$$~~~\int x^n dx={ \frac{1}{\,n+1\,}}x^{n+1}+C$$[終]
また、\(C\) を積分定数として$$~~~\int x^3 dx={ \frac{1}{\,4\,}}x^4+C$$
p.210 練習27\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~{ \frac{\,5\,}{3}}x^3+C$$$${\small (2)}~{ \frac{1}{\,3\,}}x^3+{ \frac{1}{\,2\,}}x^2-x+C$$$${\small (3)}~{ \frac{1}{\,4\,}}x^4-2x^3-x^2+5x+C$$$${\small (4)}~-{ \frac{2}{\,3\,}}x^3-{ \frac{1}{\,2\,}}x^2+7x+C$$
p.211 練習28\(C\) を積分定数として、$${\small (1)}~t^3+{ \frac{\,5\,}{2}}t^2-2t+C$$$${\small (2)}~t^3-3t^2+3t+C$$→ 不定積分
p.211 練習29$$~~~F(x)=x^3-4x+2$$→ 不定積分と関数の決定
p.213 練習30$${\small (1)}~4$$$${\small (2)}~3$$$${\small (3)}~-{ \frac{\,15\,}{4}}$$$${\small (4)}~-6$$
p.213 練習31$${\small (1)}~{ \frac{2}{\,3\,}}$$$${\small (2)}~-{ \frac{1}{\,6\,}}$$$${\small (3)}~-{ \frac{3}{\,4\,}}$$$${\small (4)}~{ \frac{\,64\,}{3}}$$→ 定積分の計算
p.214 練習32$$~~~12$$
p.215 練習33$$~~~0$$
p.215 練習34\({\small [1]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、$$\begin{split}&\int_{a}^{a}f(x)dx\\[2pt]~~=~&\left[ F(x) \right]_{a}^{a}\\[2pt]~~=~&F(a)-F(a)=0\end{split}$$したがって、$$~~~\int_{a}^{a}f(x)dx=0$$[終]
\({\small [2]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、$$\begin{split}&\int_{b}^{a}f(x)dx\\[2pt]~~=~&\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\\[2pt]~~=~&F(a)-F(b)\\[2pt]~~=~&-\left(F(b)-F(a)\right)\\[2pt]~~=~&-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\\[2pt]~~=~&-\int_{a}^{b}f(x)dx\end{split}$$したがって、$$~~~\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$[終]
\({\small [2]}~\)[証明] \(f(x)\)の原始関数の１つを \(F(x)\) とすると、$$\begin{split}&\int_{b}^{a}f(x)dx\\[2pt]~~=~&\left[ F(x) \right]_{b}^{a}\\[2pt]~~=~&F(a)-F(b)\\[2pt]~~=~&-\left(F(b)-F(a)\right)\\[2pt]~~=~&-\left[ F(x) \right]_{a}^{b}\\[2pt]~~=~&-\int_{a}^{b}f(x)dx\end{split}$$したがって、$$~~~\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$[終]
p.216 練習35$${\small (1)}~10$$$${\small (2)}~{ \frac{\,4\,}{3}}$$→ 定積分の計算
p.216 練習36$${\small (1)}~f(x)=4x-{ \frac{\,16\,}{3}}$$$${\small (2)}~f(x)=3x^2-2$$→ 定積分を含む式
p.217 練習37$$~~~3x^2-2x-1$$
p.217 練習38$$~~~f(x)=2x-1~,~a=-1~,~2$$→ 定積分で表された関数
p.220 練習39$${\small (1)}~{ \frac{\,26\,}{3}}$$$${\small (2)}~9$$→ 定積分と面積③（区間付きの面積）
p.221 練習40$${\small (1)}~{ \frac{\,8\,}{3}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,4\,}{3}}$$→ 定積分と面積①（x軸と囲まれた面積）
p.223 練習41$${\small (1)}~{ \frac{\,9\,}{2}}$$$${\small (2)}~{ \frac{\,32\,}{3}}$$$${\small (3)}~{ \frac{\,64\,}{3}}$$→ 定積分と面積②（２つの関数で囲まれた面積）
p.224 練習41$$~~~{ \frac{\,37\,}{12}}$$
p.225 練習43$${\small (1)}~{ \frac{\,34\,}{3}}$$$${\small (2)}~15$$→ 絶対値を含む関数の定積分
p.226 研究 練習1$$~~~{ \frac{\,64\,}{3}}$$
p.227 研究 練習1$$~~~{ \frac{\,8\sqrt{2}\,}{3}}$$
章末問題 微分法と積分法
p.230 章末問題Ｂ 13[証明]
\(a\neq0\) として１次関数を
\(f(x)=ax+b\)
とすると、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)dx$$$$~=\left[ \frac{a}{2}x^2+bx \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a}{2}+b$$次に、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)^2dx$$$$~=\int_{0}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx$$$$~=\left[ \frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$よって、
(右辺)−(左辺)$$~=\left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)^2$$$$~=\frac{a^2}{12}>0$$したがって、$$~\left\{\int_{0}^{1}f(x)dx\right\}^2<\int_{0}^{1}\left\{f(x)\right\}^2dx$$[終]
\(a\neq0\) として１次関数を
\(f(x)=ax+b\)
とすると、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)dx$$$$~=\left[ \frac{a}{2}x^2+bx \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a}{2}+b$$次に、$$~~~~~~\int_{0}^{1}(ax+b)^2dx$$$$~=\int_{0}^{1}(a^2x^2+2abx+b^2)dx$$$$~=\left[ \frac{a^2}{3}x^3+abx^2+b^2x \right]_{0}^{1}$$$$~=\frac{a^2}{3}+ab+b^2$$よって、
(右辺)−(左辺)$$~=\left(\frac{a^2}{3}+ab+b^2\right)-\left(\frac{a}{2}+b\right)^2$$$$~=\frac{a^2}{12}>0$$したがって、$$~\left\{\int_{0}^{1}f(x)dx\right\}^2<\int_{0}^{1}\left\{f(x)\right\}^2dx$$[終]
