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【新課程】東京書籍:Standard数学Ⅰ[702]

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1章 数と式
2章 集合と論証
3章 2次関数
4章 図形と計量
5章 データの分析

 



2章 集合と論証

1節 集合

p.56 問1$$~~~5\in {\rm A}~,~6\notin {\rm A}$$

p.57 問2$${\small (1)}~\{2,3,5,7\}$$$${\small (2)}~\{-2,2\}$$$${\small (3)}~\{5,10,15,20\cdots\}$$→ 集合の表し方と要素

p.58 問3 \({\rm C}\)、\({\rm D}\)

p.59 問4$${\small (1)}~$$$$~~~{\rm A\cap B}=\{1,3,5\}$$$$~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$$${\small (2)}~$$$$~~~{\rm A\cap B}=\{1,2,4,8\}$$$$~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,32\}$$$${\small (3)}~$$$$~~~{\rm A\cap B}=\{3\}$$$$~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,4,5,7,9\}$$→ 共通部分と和集合

p.60 問5$${\small (1)}~{\rm \overline {A}}=\{1,3,5,7,8,9\}$$$${\small (2)}~{\rm \overline {B}}=\{2,5,6,8,9\}$$$${\small (3)}~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{5,8,9\}$$$${\small (4)}~{\rm \overline {A\cup B}}=\{5,8,9\}$$

p.60 問6$${\small (1)}~\phi~,~\{3\}~,~\{4\}~,~\{3,4\}$$$${\small (2)}~\phi~,~\{5\}~,~\{6\}~,~\{7\}$$$$~~~\{5,6\}~,~\{6,7\}~,~\{5,7\}~,~\{5,6,7\}$$→ 集合の包含関係と部分集合

p.54 問7$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$$$~~~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{1,2,3,5,6,7,8,9\}$$よって、$$~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}$$
$$~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}=\{2,4\}$$$$~~~{\rm A} \cap \overline {{\rm B}}=\{2,4\}$$よって、$$~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}={\rm A} \cap \overline {{\rm B}}$$これより、ド・モルガンの法則が成り立つ
補集合とド・モルガンの法則

p.63 Training 1$$~~~{\rm A}\cap{\rm B}=\{2050\}$$$$~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{2011,2016,2024,$$$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2033,2037,2050\}$$

p.63 Training 2$${\small (1)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{x~|~5<x≦7\}$$$${\small (2)}~{\rm A}\cup{\rm B}=\{x~|~3≦x<10\}$$$${\small (3)}~{\rm \overline {A}}\cap{\rm \overline {B}}=\{x~|~x≦5~,~7<x\}$$$${\small (4)}~{\rm \overline {A}}\cup{\rm \overline {B}}=\{x~|~x<3~,~10≦x\}$$→ 数直線と集合

p.63 Training 3$${\small (1)}~{\rm B}=\{2,4,6,7,8,9\}$$$${\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm \overline {B}}=\{1,3\}$$$${\small (3)}~{\rm A \cup \overline {B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}$$$${\small (4)}~{\rm \overline {\overline {A} \cap B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}$$

p.63 Training 4\({\small (1)}~a\) は集合 \(\rm A\) の要素である
\({\small (2)}~\)集合 \(\rm A\) のすべての要素は、集合 \(\rm B\) の要素である



2節 命題と論証

p.64 問1\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽
命題の真偽

p.65 問2$${\small (1)}~x=-1~,~3$$$${\small (2)}~x>-4$$

p.66 問3\({\small (1)}~\)偽
\({\small (2)}~\)真
\({\small (3)}~\)真
条件の真偽

p.67 問4\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽、反例 \(a=0~,~b=1\)
条件の真偽

p.67 問5\({\small (1)}~\)十分
\({\small (2)}~\)必要

p.68 問6\({\small (1)}~\)十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件である
\({\small (4)}~\)必要十分条件
必要条件と十分条件

p.68 問7\({\small (1)}~\)自然数 \(n\) は偶数である
\({\small (2)}~x>-3\)
\({\small (3)}~x\) は \(5\) より小さい

p.69 問8\({\small (1)}~x<1\) または \(x>4\)
\({\small (2)}~x>2\) かつ \(x≦3\)
条件の否定①(かつ・または)

p.70 問9\({\small (1)}~\)
 逆:\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)、真
 裏:\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)、真
 対偶:\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
\({\small (2)}~\)
 逆:自然数 \(n\) は \(12\) の約数
 \(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数、偽
 裏:自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない
 \(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない、偽
 対偶:自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない
 \(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない、真
\({\small (3)}~\)
 逆:\(0<x<1\)
 \(~~~~\Rightarrow~-2<x<2\)、真
 裏:\(x≦-2~,~2≦x\)
 \(~~~~\Rightarrow~x≦0~,~1≦x\)、真
 対偶:\(x≦0~,~1≦x\)
 \(~~~~\Rightarrow~x≦-2~,~2≦x\)、偽
逆と裏と対偶

p.71 問10[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(3n+5\) は奇数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$\begin{split}&3n+5\\[2pt]~~=~&3\cdot2m+5\\[2pt]~~=~&6m+5\\[2pt]~~=~&2(3m+2)+1\end{split}$$\(3m+2\) が整数より \(3n+5\) は奇数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]
対偶法

p.72 問11\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和が \(180^\circ\) 以上となる

p.73 問12[証明] \(\sqrt{6}\) が無理数でないと仮定すると
\(\sqrt{6}\) は有理数となり、\(1\) 以外の公約数をもたない自然数 \(m~,~n\) を用いて、$$~~~\sqrt{6}=\frac{\,m\,}{\,n\,}~~~\cdots{\large ①}$$と表される
両辺を2乗して整理すると、$$~~~m^2=6n^2~~~\cdots{\large ②}$$ここで、\(m^2\) は偶数であり \(m\) も偶数となる(p.71 例題1)
よって、自然数 \(k\) を用いて \(m=2k\) と表される
②に代入すると、$$\begin{eqnarray}~~~(2k)^2&=&6n^2\\[2pt]~~~3n^2&=&2k^2\end{eqnarray}$$\(n^2\) は偶数であり \(n\) も偶数となる
\(m~,~n\) はともに偶数となり、これは\(1\) 以外の公約数をもたないに矛盾する
したがって、\(\sqrt{6}\) が有理数でない
すなわち、\(\sqrt{6}\) が無理数である [終]
背理法

p.74 Training 5\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽、反例 \(m=2~,~n=2\)

p.74 Training 6\({\small (1)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件である

p.74 Training 7\({\small (1)}~\)\(x≦1\) または \(4≦x\)
\({\small (2)}~\)\(x\neq -2\) かつ \(y\neq 3\)

p.74 Training 8[証明]この命題の対偶は、
\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である
\(n\) が偶数より、整数 \(m\) を用いて \(n=2m\) とすると$$\begin{split}&n^2+1\\[2pt]~~=~&(2m)^2+1\\[2pt]~~=~&4m^2+1\\[2pt]~~=~&2\cdot2m+1\end{split}$$\(2m\) が整数より \(n^2\) は奇数である
したがって、対偶が真より
もとの命題も真となる[終]

p.74 Training 9[証明] \(x+\sqrt{3}\) が無理数でないと仮定すると
\(x+\sqrt{3}\) は有理数となり、有理数 \(r\) で表すことができる$$~~~x+\sqrt{3}=r$$式変形すると、$$~~~\sqrt{3}=r-x$$\(x~,~r\) が有理数であることより、\(r-x\) も有理数である
これより、この等式は \(\sqrt{3}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(x+\sqrt{3}\) が無理数である[終]

p.74 Training 10 ① 一致すると限らない
 ② 一致する



Level Up 集合と論証

p.75 Level Up 1\({\small (1)}~{\rm A}\supset{\rm B}\) である
\({\small (2)}~{\rm A}\subset{\rm B}\) でも \({\rm A}\supset{\rm B}\) でもない
\({\small (3)}~{\rm A}={\rm B}\) である

p.75 Level Up 2$$~~~{\rm B}=\{1,3,5,15\}$$

p.75 Level Up 3\({\small (1)}~\)ウ
\({\small (2)}~\)エ
\({\small (3)}~\)イ
\({\small (4)}~\)ア

p.75 Level Up 4[証明] \(y\neq 0\) と仮定すると、\(x+y\sqrt{2}=0\) より$$~~~\sqrt{2}=-{ \frac{\,x\,}{\,y\,}}$$ここで、\(x,y\) が有理数であることより、\(-{\large \frac{\,x\,}{\,y\,}}\) も有理数となる
これは、\(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(y=0\)
次にこれを \(x+y\sqrt{2}=0\) に代入すると、\(x=0\)
したがって、\(x,y\) が有理数で $$~~~x+y\sqrt{2}=0~\Rightarrow~x=y=0$$ [終]

 



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