このページは、東京書籍：Standard数学Ⅰ[702]
２章 集合と論証
２章 集合と論証
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Standard数学Ⅰ １章 数と式
Standard数学Ⅰ ２章 集合と論証
Standard数学Ⅰ ３章 ２次関数
Standard数学Ⅰ ４章 図形と計量
Standard数学Ⅰ ５章 データの分析
２章 集合と論証
１節 集合
２章 集合と論証
１節 集合
p.57 問2\({\small (1)}~\{2,3,5,7\}\)
\({\small (2)}~\{-2,2\}\)
\({\small (3)}~\{5,10,15,20\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
\({\small (2)}~\{-2,2\}\)
\({\small (3)}~\{5,10,15,20\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
p.59 問4\({\small (1)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{1,3,5\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
\({\small (2)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{1,2,4,8\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,32\}\)
\({\small (3)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{3\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,4,5,7,9\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(~~~{\rm A\cap B}=\{1,3,5\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)
\({\small (2)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{1,2,4,8\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,2,3,4,6,8,12,16,24,32\}\)
\({\small (3)}~\)
\(~~~{\rm A\cap B}=\{3\}\)
\(~~~{\rm A\cup B}=\{1,3,4,5,7,9\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.60 問5\({\small (1)}~{\rm \overline {A}}=\{1,3,5,7,8,9\}\)
\({\small (2)}~{\rm \overline {B}}=\{2,5,6,8,9\}\)
\({\small (3)}~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{5,8,9\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {A\cup B}}=\{5,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~{\rm \overline {B}}=\{2,5,6,8,9\}\)
\({\small (3)}~{\rm \overline {A}\cap \overline {B}}=\{5,8,9\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {A\cup B}}=\{5,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.60 問6\({\small (1)}~\phi~,~\{3\}~,~\{4\}~,~\{3,4\}\)
\({\small (2)}~\phi~,~\{5\}~,~\{6\}~,~\{7\}\)
\(~~~\{5,6\}~,~\{6,7\}~,~\{5,7\}~,~\{5,6,7\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
\({\small (2)}~\phi~,~\{5\}~,~\{6\}~,~\{7\}\)
\(~~~\{5,6\}~,~\{6,7\}~,~\{5,7\}~,~\{5,6,7\}\)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
p.54 問7\(~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\(~~~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
よって、
\(~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
\(~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}=\{2,4\}\)
\(~~~{\rm A} \cap \overline {{\rm B}}=\{2,4\}\)
よって、
\(~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}={\rm A} \cap \overline {{\rm B}}\)
これより、ド・モルガンの法則が成り立つ
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\(~~~\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}=\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
よって、
\(~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
\(~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}=\{2,4\}\)
\(~~~{\rm A} \cap \overline {{\rm B}}=\{2,4\}\)
よって、
\(~~~\overline {\overline {{\rm A}} \cup {\rm B}}={\rm A} \cap \overline {{\rm B}}\)
これより、ド・モルガンの法則が成り立つ
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
Training
p.63 Training 1\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}=\{2050\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{2011,2016,2024,\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2033,2037,2050\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{2011,2016,2024,\)
\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2033,2037,2050\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.63 Training 2\({\small (1)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{x~|~5\lt x{\small ~≦~}7\}\)
\({\small (2)}~{\rm A}\cup{\rm B}=\{x~|~3{\small ~≦~}x\lt 10\}\)
\({\small (3)}~{\rm \overline {A}}\cap{\rm \overline {B}}=\{x~|~x{\small ~≦~}5~,~7\lt x\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {A}}\cup{\rm \overline {B}}=\{x~|~x\lt 3~,~10{\small ~≦~}x\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
\({\small (2)}~{\rm A}\cup{\rm B}=\{x~|~3{\small ~≦~}x\lt 10\}\)
\({\small (3)}~{\rm \overline {A}}\cap{\rm \overline {B}}=\{x~|~x{\small ~≦~}5~,~7\lt x\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {A}}\cup{\rm \overline {B}}=\{x~|~x\lt 3~,~10{\small ~≦~}x\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
p.63 Training 3\({\small (1)}~{\rm B}=\{2,4,6,7,8,9\}\)
\({\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm \overline {B}}=\{1,3\}\)
\({\small (3)}~{\rm A \cup \overline {B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {\overline {A} \cap B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm \overline {B}}=\{1,3\}\)
\({\small (3)}~{\rm A \cup \overline {B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}\)
\({\small (4)}~{\rm \overline {\overline {A} \cap B}}=\{1,3,4,5,6,8,10\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.63 Training 4\({\small (1)}~a\) は集合 \(\rm A\) の要素である
\({\small (2)}~\)集合 \(\rm A\) のすべての要素は、集合 \(\rm B\) の要素である
解法のPoint｜集合と属する要素
解法のPoint｜部分集合の表し方
\({\small (2)}~\)集合 \(\rm A\) のすべての要素は、集合 \(\rm B\) の要素である
解法のPoint｜集合と属する要素
解法のPoint｜部分集合の表し方
２節 命題と論証
p.68 問6\({\small (1)}~\)十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件である
\({\small (4)}~\)必要十分条件
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\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)必要条件である
\({\small (4)}~\)必要十分条件
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p.68 問7\({\small (1)}~\)自然数 \(n\) は偶数である
\({\small (2)}~x\gt -3\)
\({\small (3)}~x\) は \(5\) より小さい
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x\gt -3\)
\({\small (3)}~x\) は \(5\) より小さい
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.69 問8\({\small (1)}~x\lt 1\) または \(x\gt 4\)
\({\small (2)}~x\gt 2\) かつ \(x{\small ~≦~}3\)
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x\gt 2\) かつ \(x{\small ~≦~}3\)
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.70 問9\({\small (1)}~\)
逆：\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)、真
裏：\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)、真
対偶：\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
\({\small (2)}~\)
逆：自然数 \(n\) は \(12\) の約数
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数、偽
裏：自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない、偽
対偶：自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない、真
\({\small (3)}~\)
逆：\(0\lt x\lt 1\)
\(~~~~\Rightarrow~-2\lt x\lt 2\)、真
裏：\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
\(~~~~\Rightarrow~x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\)、真
対偶：\(x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\)
\(~~~~\Rightarrow~x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)、偽
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
逆：\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)、真
裏：\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)、真
対偶：\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
\({\small (2)}~\)
逆：自然数 \(n\) は \(12\) の約数
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数、偽
裏：自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない、偽
対偶：自然数 \(n\) は \(12\) の約数でない
\(~~~~\Rightarrow~\)自然数 \(n\) は \(6\) の約数でない、真
\({\small (3)}~\)
逆：\(0\lt x\lt 1\)
\(~~~~\Rightarrow~-2\lt x\lt 2\)、真
裏：\(x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)
\(~~~~\Rightarrow~x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\)、真
対偶：\(x{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}x\)
\(~~~~\Rightarrow~x{\small ~≦~}-2~,~2{\small ~≦~}x\)、偽
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.71 問10命題「\(3n+5\) が偶数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(3n+5\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(3n+5\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3n+5&=&3 \cdot 2k+5\\[3pt]~~~&=&6k+5\\[3pt]~~~&=&2(3k+2)+1\end{eqnarray}\)
\(3k+2\) は整数であり、\(3n+5\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(3n+5\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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「\(n\) が偶数ならば \(3n+5\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(3n+5\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~3n+5&=&3 \cdot 2k+5\\[3pt]~~~&=&6k+5\\[3pt]~~~&=&2(3k+2)+1\end{eqnarray}\)
\(3k+2\) は整数であり、\(3n+5\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(3n+5\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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p.73 問12[証明] 「\(\sqrt{6}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{6}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{6}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{6}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&6b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は偶数であるので、\(a\) も偶数である
また、\(a=2c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2c)^2&=&6b^2\\[3pt]~~~4c^2&=&6b^2\\[3pt]~~~2c^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(2c^2\) は偶数であるので、\(3b^2\) も偶数である
\(3\) は奇数であるので、\(b^2\) は偶数となり、\(b\) も偶数である
\(a\) と \(b\) はともに偶数で公約数 \(2\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{6}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{6}\) は無理数である [終]
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\(\sqrt{6}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{6}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{6}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&6b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は偶数であるので、\(a\) も偶数である
また、\(a=2c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2c)^2&=&6b^2\\[3pt]~~~4c^2&=&6b^2\\[3pt]~~~2c^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(2c^2\) は偶数であるので、\(3b^2\) も偶数である
\(3\) は奇数であるので、\(b^2\) は偶数となり、\(b\) も偶数である
\(a\) と \(b\) はともに偶数で公約数 \(2\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{6}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{6}\) は無理数である [終]
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Training
p.74 Training 6\({\small (1)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件である
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\({\small (2)}~\)必要十分条件である
\({\small (3)}~\)十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件である
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p.74 Training 7\({\small (1)}~\)\(x{\small ~≦~}1\) または \(4{\small ~≦~}x\)
\({\small (2)}~\)\(x\neq -2\) かつ \(y\neq 3\)
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~\)\(x\neq -2\) かつ \(y\neq 3\)
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.74 Training 8命題「\(n^2+1\) が偶数ならば、\(n\) は奇数」の対偶は、
「\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2+1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+1&=&(2k)^2+1\\[3pt]~~~&=&4k^2+1\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)+1\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2+1\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2+1\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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「\(n\) が偶数ならば \(n^2+1\) は奇数である」
[証明] \(n\) が偶数のとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=2k\) と表せる
よって、\(n^2+1\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+1&=&(2k)^2+1\\[3pt]~~~&=&4k^2+1\\[3pt]~~~&=&2(2k^2)+1\end{eqnarray}\)
\(2k^2\) は整数であり、\(n^2+1\) は奇数である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2+1\) が偶数ならば、\(n\) は奇数である [終]
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p.74 Training 9[証明] 「\(x+\sqrt{3}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(x+\sqrt{3}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x+\sqrt{3}&=&r\\[3pt]~~~\sqrt{3}&=&r-x\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数、\(x\) が有理数のとき、\(r-x\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{3}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(x+\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(x+\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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\(x+\sqrt{3}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~x+\sqrt{3}&=&r\\[3pt]~~~\sqrt{3}&=&r-x\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数、\(x\) が有理数のとき、\(r-x\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{3}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(x+\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(x+\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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Level Up 集合と論証
p.75 Level Up 1\({\small (1)}~{\rm A}\supset{\rm B}\) である
\({\small (2)}~{\rm A}\subset{\rm B}\) でも \({\rm A}\supset{\rm B}\) でもない
\({\small (3)}~{\rm A}={\rm B}\) である
解法のPoint｜部分集合の表し方
\({\small (2)}~{\rm A}\subset{\rm B}\) でも \({\rm A}\supset{\rm B}\) でもない
\({\small (3)}~{\rm A}={\rm B}\) である
解法のPoint｜部分集合の表し方
p.75 Level Up 3\({\small (1)}~\)ウ \({\small (2)}~\)エ \({\small (3)}~\)イ \({\small (4)}~\)ア
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p.75 Level Up 4[証明] \(y \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~y\sqrt{2}&=&-x\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(y \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(y=0\) が成り立つ
また、\(x+y\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(x~,~y\) が有理数のとき、
\(x+y\sqrt{2}=0\) ならば \(x=y=0\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~x+y\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~y\sqrt{2}&=&-x\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\end{eqnarray}\)
\(x~,~y\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(y \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(y=0\) が成り立つ
また、\(x+y\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~x&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(x~,~y\) が有理数のとき、
\(x+y\sqrt{2}=0\) ならば \(x=y=0\) [終]
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