このページは、東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901]
５章 データの分析
５章 データの分析
一部の問題の解説はリンク先にありますので、確認してください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
Advanced数学Ⅰ １章 数と式
Advanced数学Ⅰ ２章 集合と論証
Advanced数学Ⅰ ３章 ２次関数
Advanced数学Ⅰ ４章 図形と計量
Advanced数学Ⅰ ５章 データの分析
５章 データの分析
１節 データの整理と分析
p.172 問1 \(\begin{array}{c|c}
階級 &
\\ \small 以上 ~\sim~ 未満 & 度数
\\ \hline
0 \sim 4 & 4
\\ 4 \sim 8 & 3
\\ 8 \sim 12 & 1
\\ 12 \sim 16 & 2
\\ 16 \sim 20 & 2
\\ 20 \sim 24 & 3
\\ \hline
計 & 15
\end{array}\)
解法のPoint｜度数分布表とヒストグラム
階級 &
\\ \small 以上 ~\sim~ 未満 & 度数
\\ \hline
0 \sim 4 & 4
\\ 4 \sim 8 & 3
\\ 8 \sim 12 & 1
\\ 12 \sim 16 & 2
\\ 16 \sim 20 & 2
\\ 20 \sim 24 & 3
\\ \hline
計 & 15
\end{array}\)
解法のPoint｜度数分布表とヒストグラム
p.173 問3\(\begin{array}{c|c|c|c}
階級 & & 相対 & 累積相対
\\ \small 以上 ~\sim~ 未満 & 度数 & 度数 & 度数
\\ \hline
0 \sim 4 & 4 & 0.27 & 0.27
\\ 4 \sim 8 & 3 & 0.20 & 0.47
\\ 8 \sim 12 & 1 & 0.07 & 0.54
\\ 12 \sim 16 & 2 & 0.13 & 0.67
\\ 16 \sim 20 & 2 & 0.13 & 0.80
\\ 20 \sim 24 & 3 & 0.20 & 1.00
\\ \hline
計 & 15 & 1.00 &
\end{array}\)
解法のPoint｜度数分布表とヒストグラム
階級 & & 相対 & 累積相対
\\ \small 以上 ~\sim~ 未満 & 度数 & 度数 & 度数
\\ \hline
0 \sim 4 & 4 & 0.27 & 0.27
\\ 4 \sim 8 & 3 & 0.20 & 0.47
\\ 8 \sim 12 & 1 & 0.07 & 0.54
\\ 12 \sim 16 & 2 & 0.13 & 0.67
\\ 16 \sim 20 & 2 & 0.13 & 0.80
\\ 20 \sim 24 & 3 & 0.20 & 1.00
\\ \hline
計 & 15 & 1.00 &
\end{array}\)
解法のPoint｜度数分布表とヒストグラム
p.185 問17[証明] 変量 \(x\) の \(n\) 個の値を \(x_1~,~x_2~,~\cdots~,~x_n\) とすると、\(y=ax+b\) より、変量 \(y\) の値は
\(ax_1+b~,~ax_2+b~,~\cdots~,~ax_n+b\)
となるので、
\(y\) の平均値 \(\overline{y}\) は
ここで、\(\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}\) は \(x\) の平均値 \(\overline{x}\) であるから、
\(\overline{y}=a\overline{x}+b\)
したがって、\(\overline{y}=a\overline{x}+b\) が成り立つ [終]
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
\(ax_1+b~,~ax_2+b~,~\cdots~,~ax_n+b\)
となるので、
\(y\) の平均値 \(\overline{y}\) は
\(\begin{eqnarray}~~~\overline{y}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\left\{\,(ax_1+b)+(ax_2+b)+\cdots+(ax_n+b)\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\left\{\,a(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&a \cdot \displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}+b\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,n\,}\left\{\,a(x_1+x_2+\cdots+x_n)+nb\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&a \cdot \displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}+b\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(\displaystyle \frac{\,x_1+x_2+\cdots+x_n\,}{\,n\,}\) は \(x\) の平均値 \(\overline{x}\) であるから、
\(\overline{y}=a\overline{x}+b\)
したがって、\(\overline{y}=a\overline{x}+b\) が成り立つ [終]
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
p.185 問18 平均値 \(50\)（℉）、分散 \(\displaystyle \frac{\,324\,}{\,25\,}=12.96\)
標準偏差 \(\displaystyle \frac{\,18\,}{\,5\,}=3.6\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
標準偏差 \(\displaystyle \frac{\,18\,}{\,5\,}=3.6\)
解法のPoint｜データの変換と分散・標準偏差
問題
２節 データの相関
p.190 問1５人の身長をミリメートルにすると、
\(~~~1800~,~1720~,~1650~,~1720~,~1660\)
平均値 \(\overline{x}\) は、
\(~~~\overline{x}=1710\)
\(x-\overline{x}\) は、
\(~~~90~,~10~,~-60~,~10~,~-50\)
\((x-\overline{x})^2\) は、
\(~~~8100~,~100~,~3600~,~100~,~2500\)
合計 \(14400\) となる
\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) は、
\(~~~450~,~90~,~300~,~20~,~550\)
合計 \(1410\) となる
これより、相関係数 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}1410\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1410\,}{\,\sqrt{\,14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&0.734\cdots
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&0.73\end{eqnarray}\)
よって、\(r=0.73\) となり、相関係数の値は変わらない
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
\(~~~1800~,~1720~,~1650~,~1720~,~1660\)
平均値 \(\overline{x}\) は、
\(~~~\overline{x}=1710\)
\(x-\overline{x}\) は、
\(~~~90~,~10~,~-60~,~10~,~-50\)
\((x-\overline{x})^2\) は、
\(~~~8100~,~100~,~3600~,~100~,~2500\)
合計 \(14400\) となる
\((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) は、
\(~~~450~,~90~,~300~,~20~,~550\)
合計 \(1410\) となる
これより、相関係数 \(r\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}1410\,}{\,\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1410\,}{\,\sqrt{\,14400\,}{\, \small \times \,}\sqrt{\,256\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&0.734\cdots
\\[5pt]~~~&{\small ~≒~}&0.73\end{eqnarray}\)
よって、\(r=0.73\) となり、相関係数の値は変わらない
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
問題
p.193 問題 4\({\small (1)}~\)① \({\small (2)}~\)④ \({\small (3)}~\)② \({\small (4)}~\)③
解法のPoint｜2つの変量の散布図と相関
解法のPoint｜2つの変量の散布図と相関
３節 仮説検定の考え方
練習問題 データの分析
p.198 練習問題A 1\({\small (1)}~\overline{x}=3~,~\overline{y}=4\)
\({\small (2)}~0.75\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~0.75\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.198 練習問題A 3[証明] \(z=ax+b\) より、\(\overline{z}=a\overline{x}+b\) であるから、
\(x\) の偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を、\(z\) の偏差の \(2\) 乗に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-\overline{z})^2&=&\left\{\,(ax+b)-(a\overline{x}+b)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,a(x-\overline{x})\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2(x-\overline{x})^2\end{eqnarray}\)
よって、\(z\) の分散は \({s_z}^2=a^2{s_x}^2\) となる
また、\(x\) と \(y\) の偏差の積 \((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) を、\(z\) と \(y\) の偏差の積に変換すると、
よって、\(z\) と \(y\) の共分散は \(s_{zy}=a\,s_{xy}\) となる
これより、\(z\) と \(y\) の相関係数 \(r^{\prime}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,s_{zy}\,}{\,s_z \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,s_{xy}\,}{\,\sqrt{\,a^2{s_x}^2\,} \cdot \sqrt{\,{s_y}^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,s_{xy}\,}{\,as_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&r\end{eqnarray}\)
したがって、\(z\) と \(y\) の相関係数も \(r\) となる [終]
解法のPoint｜変数の変換と共分散・相関係数
\(x\) の偏差の \(2\) 乗 \((x-\overline{x})^2\) を、\(z\) の偏差の \(2\) 乗に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-\overline{z})^2&=&\left\{\,(ax+b)-(a\overline{x}+b)\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&\left\{\,a(x-\overline{x})\,\right\}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2(x-\overline{x})^2\end{eqnarray}\)
よって、\(z\) の分散は \({s_z}^2=a^2{s_x}^2\) となる
また、\(x\) と \(y\) の偏差の積 \((x-\overline{x})(y-\overline{y})\) を、\(z\) と \(y\) の偏差の積に変換すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(z-\overline{z})(y-\overline{y})&=&\left\{\,(ax+b)-(a\overline{x}+b)\,\right\}(y-\overline{y})
\\[3pt]~~~&=&a(x-\overline{x})(y-\overline{y})\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a(x-\overline{x})(y-\overline{y})\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\(z\) と \(y\) の共分散は \(s_{zy}=a\,s_{xy}\) となる
これより、\(z\) と \(y\) の相関係数 \(r^{\prime}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~r^{\prime}&=&\displaystyle \frac{\,s_{zy}\,}{\,s_z \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,s_{xy}\,}{\,\sqrt{\,a^2{s_x}^2\,} \cdot \sqrt{\,{s_y}^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a\,s_{xy}\,}{\,as_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s_{xy}\,}{\,s_x \cdot s_y\,}
\\[5pt]~~~&=&r\end{eqnarray}\)
したがって、\(z\) と \(y\) の相関係数も \(r\) となる [終]
解法のPoint｜変数の変換と共分散・相関係数
p.199 練習問題B 4\({\small (1)}~{\rm A}=60~,~{\rm B}=50\)
\({\small (2)}~{s_x}^2=6.4~,~{s_y}^2=3.6\)
\({\small (3)}~r=0.77\)
\({\small (4)}~\)③
\({\small (5)}~\)③
解法のPoint｜2つの変量の散布図と相関
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
\({\small (2)}~{s_x}^2=6.4~,~{s_y}^2=3.6\)
\({\small (3)}~r=0.77\)
\({\small (4)}~\)③
\({\small (5)}~\)③
解法のPoint｜2つの変量の散布図と相関
解法のPoint｜2つのデータの共分散と相関係数
