このページは、東京書籍｜Advanced数学Ⅰ[002-901]
２章 集合と論証
２章 集合と論証
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Advanced数学Ⅰ １章 数と式
Advanced数学Ⅰ ２章 集合と論証
Advanced数学Ⅰ ３章 ２次関数
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２章 集合と論証
１節 集合
p.55 問2\({\small (1)}~\{2,3,5,7\}\)
\({\small (2)}~\{1,3,5,7,\cdots,99\}\)
\({\small (3)}~\{-2,2\}\)
\({\small (4)}~\{10,15,20,\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
\({\small (2)}~\{1,3,5,7,\cdots,99\}\)
\({\small (3)}~\{-2,2\}\)
\({\small (4)}~\{10,15,20,\cdots\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
p.55 問3\({\small (1)}~\{~x~|~x\) は１桁の奇数\(~\}\)
\({\small (2)}~\{~x~|~x\) は \(11\) 以下の素数\(~\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
\({\small (2)}~\{~x~|~x\) は \(11\) 以下の素数\(~\}\)
解法のPoint｜集合と要素の表し方
p.57 問6\({\small (1)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{2,3,5\}\)
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,2,3,4,5,7\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\({\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{-2\lt x{\small ~≦~}0\}\)
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{-5{\small ~≦~}x\lt 6\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,2,3,4,5,7\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\({\small (2)}~{\rm A}\cap{\rm B}=\{-2\lt x{\small ~≦~}0\}\)
\(~~~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{-5{\small ~≦~}x\lt 6\}\)
解法のPoint｜不等式で表される集合
p.58 問7\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C} =\{2,4\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C} =\{1,2,3,4,5,6,8,10,16\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C} =\{1,2,3,4,5,6,8,10,16\}\)
解法のPoint｜集合の共通部分と和集合
p.58 問8\(~~~\phi,\{3\} ,\{4\} ,\{5\} \)
\(~~~\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{3,5\} ,\{3,4,5\} \)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
\(~~~\{3,4\} ,\{4,5\} ,\{3,5\} ,\{3,4,5\} \)
解法のPoint｜すべての部分集合と空集合
p.59 問9\({\small (1)}~\{1,3,5,7,8,9\}\)
\({\small (2)}~\{2,6\}\)
\({\small (3)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{2,6\}\)
\({\small (3)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,5,6,7,8,9\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.59 問10[証明] \(A \subset B\) のとき、\(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
集合 \(\overline{B}\) は集合 \(\overline{A}\) の部分集合となるので、
\(A \subset B\) ならば \(\overline{A} \supset \overline{B}\) [終]
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集合 \(\overline{B}\) は集合 \(\overline{A}\) の部分集合となるので、
\(A \subset B\) ならば \(\overline{A} \supset \overline{B}\) [終]
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p.60 問11[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
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この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
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問題
p.60 問題 1\({\small (1)}~\{x\,|\,-1 \lt x{\small ~≦~}2\}\)
\({\small (2)}~\{x\,|\,x \lt 5\}\)
\({\small (3)}~\{x\,|\,x{\small ~≧~}5\}\)
\({\small (4)}~\{x\,|\,x{\small ~≦~}-1~,~2 \lt x\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
\({\small (2)}~\{x\,|\,x \lt 5\}\)
\({\small (3)}~\{x\,|\,x{\small ~≧~}5\}\)
\({\small (4)}~\{x\,|\,x{\small ~≦~}-1~,~2 \lt x\}\)
解法のPoint｜補集合とド・モルガンの法則
p.60 問題 2\(A \cap B=\varnothing\) のとき
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
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[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
\(A \subset B\) のとき
[証明] \(A\) の補集合 \(\overline{A}\) と \(B\) の補集合 \(\overline{B}\) はそれぞれ図のようになり、
この和集合 \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは共通部分 \(A \cap B\) の補集合 \(\overline{A \cap B}\) であるので、
\(\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}\)
が成り立つ [終]
次に、\(\overline{A}\) と \(\overline{B}\) の共通部分 \(\overline{A} \cap \overline{B}\) は以下の図のようになる
また、これは和集合 \(A \cup B\) の補集合 \(\overline{A \cup B}\) であるので、
\(\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}\)
が成り立つ [終]
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２節 命題と論証
p.63 問3\({\small (1)}~\)偽 \({\small (2)}~\)真 \({\small (3)}~\)真 \({\small (4)}~\)偽
解法のPoint｜命題の真偽と反例
解法のPoint｜命題の真偽と反例
p.63 問4\({\small (1)}~\)真
\({\small (2)}~\)偽、反例は \(x=0\)
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(n=2\)
解法のPoint｜命題の真偽と反例
\({\small (2)}~\)偽、反例は \(x=0\)
\({\small (3)}~\)偽、反例は \(n=2\)
解法のPoint｜命題の真偽と反例
p.64 問5\({\small (1)}~\)必要条件であるが、十分条件ではない
\({\small (2)}~\)十分条件であるが、必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件でも十分条件でもない
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\({\small (2)}~\)十分条件であるが、必要条件ではない
\({\small (3)}~\)必要十分条件である
\({\small (4)}~\)必要条件でも十分条件でもない
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p.65 問6\({\small (1)}~x\neq-2\)
\({\small (2)}~x\gt 3\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x\gt 3\)
\({\small (3)}~x\) は有理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.65 問7\({\small (1)}~x\lt 1\) または \(y\gt 4\)
\({\small (2)}~x\gt 5\) かつ \(y{\small ~≦~}8\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~x\gt 5\) かつ \(y{\small ~≦~}8\)
\({\small (3)}~x~,~y\) はともに無理数である
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.66 問8\({\small (1)}~\)
逆は、\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)、真
裏は、\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)、真
対偶は、\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
\({\small (2)}~\)逆は、
\(n\) は \(12\) の約数 \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数、偽
裏は、
\(n\) は \(6\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(12\) の約数でない、偽
対偶は、
\(n\) は \(12\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数でない、真
\({\small (3)}~\)
逆は、\(xy{\small ~≦~}0\)\(~\Rightarrow~\)\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0\)、真
裏は、\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)\(~\Rightarrow~\)\(xy\gt 0\)、真
対偶は、\(xy\gt 0\)\(~\Rightarrow~\)\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)、偽
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
逆は、\(x^2=0~\Rightarrow~x=0\)、真
裏は、\(x\neq0~\Rightarrow~x^2\neq0\)、真
対偶は、\(x^2\neq0~\Rightarrow~x\neq0\)、真
\({\small (2)}~\)逆は、
\(n\) は \(12\) の約数 \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数、偽
裏は、
\(n\) は \(6\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(12\) の約数でない、偽
対偶は、
\(n\) は \(12\) の約数でない \(~\Rightarrow~\) \(n\) は \(6\) の約数でない、真
\({\small (3)}~\)
逆は、\(xy{\small ~≦~}0\)\(~\Rightarrow~\)\(x{\small ~≦~}0\) または \(y{\small ~≦~}0\)、真
裏は、\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)\(~\Rightarrow~\)\(xy\gt 0\)、真
対偶は、\(xy\gt 0\)\(~\Rightarrow~\)\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)、偽
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.67 問9命題「\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数」の対偶は、
「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」
[証明] \(n\) が \(3\) の倍数でないとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表せる
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
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「\(n\) が \(3\) の倍数でないならば \(n^2\) は \(3\) の倍数でない」
[証明] \(n\) が \(3\) の倍数でないとき、
整数 \(k\) を用いて、\(n=3k+1\) または \(n=3k+2\) と表せる
\(\small [\,1\,]\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+1)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+6k+1\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+2k\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,2\,]\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(3k+2)^2\\[3pt]~~~&=&9k^2+12k+4\\[3pt]~~~&=&3(3k^2+4k+1)+1\end{eqnarray}\)
\(3k^2+4k+1\) は整数であり、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\)より、\(n^2\) は \(3\) の倍数でない
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(n^2\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
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p.68 問10[証明] 「入っている球が \(2\) 個以下の箱がない」と仮定すると、
青、黄、赤の箱に、\(8\) 個の球をそれぞれ \(a\) 個、\(b\) 個、\(c\) 個入れたとすると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&8\end{eqnarray}\)
入っている球が \(2\) 個以下の箱がないと仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a{\small ~≧~}3~,~b{\small ~≧~}3~,~c{\small ~≧~}3\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c{\small ~≧~}9\end{eqnarray}\)
これは、\(a+b+c=8\) であることに矛盾する
したがって、入っている球が \(2\) 個以下の箱がある [終]
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青、黄、赤の箱に、\(8\) 個の球をそれぞれ \(a\) 個、\(b\) 個、\(c\) 個入れたとすると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c&=&8\end{eqnarray}\)
入っている球が \(2\) 個以下の箱がないと仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a{\small ~≧~}3~,~b{\small ~≧~}3~,~c{\small ~≧~}3\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b+c{\small ~≧~}9\end{eqnarray}\)
これは、\(a+b+c=8\) であることに矛盾する
したがって、入っている球が \(2\) 個以下の箱がある [終]
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p.69 問11[証明] 「\(\sqrt{3}\) が無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{3}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{3}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(a\) も \(3\) の倍数である
また、\(a=3c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3c)^2&=&3b^2\\[3pt]~~~9c^2&=&3b^2\\[3pt]~~~b^2&=&3c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(b\) も \(3\) の倍数である
\(a\) と \(b\) はともに \(3\) の倍数で公約数 \(3\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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\(\sqrt{3}\) は有理数であるので、\(1\) 以外に互いに公約数をもたない \(2\) つの自然数 \(a~,~b\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}=\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~a&=&\sqrt{3}\,b\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&3b^2\end{eqnarray}\)
\(a^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(a\) も \(3\) の倍数である
また、\(a=3c\)（ \(c\) は整数 ）とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3c)^2&=&3b^2\\[3pt]~~~9c^2&=&3b^2\\[3pt]~~~b^2&=&3c^2\end{eqnarray}\)
\(b^2\) は \(3\) の倍数であるので、\(b\) も \(3\) の倍数である
\(a\) と \(b\) はともに \(3\) の倍数で公約数 \(3\) をもつが、これは \(a\) と \(b\) が \(1\) 以外に公約数をもたないことに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}\) は無理数である [終]
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p.71 発展 問3\({\small (1)}~\)ある実数 \(x\) について \(x^2 \lt 0\)
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について \(x^2=2\)
解法のPoint｜すべて・あるの否定
\({\small (2)}~\)すべての実数 \(x\) について \(x^2=2\)
解法のPoint｜すべて・あるの否定
問題
p.72 問題 3\({\small (1)}~\)必要十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (4)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
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\({\small (2)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
\({\small (3)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (4)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
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p.72 問題 4\({\small (1)}~x{\small ~≦~}2\) または \(5{\small ~≦~}x\)
\({\small (2)}~\)\(x+y\) は有理数または \(xy\) は無理数
\({\small (3)}~n\) は3の倍数でなく、かつ、\(n\) は4の倍数でない
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
\({\small (2)}~\)\(x+y\) は有理数または \(xy\) は無理数
\({\small (3)}~n\) は3の倍数でなく、かつ、\(n\) は4の倍数でない
解法のPoint｜条件の否定とかつ・またはの否定
p.72 問題 5\({\small (1)}~\)
逆は、\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形であるならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である、偽
対偶は、\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形でないならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形でない、真
\({\small (2)}~\)
逆は、\(x^2+1=2x\) ならば、\(x=1\) である、真
対偶は、\(x^2+1 \neq 2x\) ならば、\(x \neq 1\) である、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
逆は、\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形であるならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形である、偽
対偶は、\(\triangle {\rm ABC}\) が二等辺三角形でないならば、\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形でない、真
\({\small (2)}~\)
逆は、\(x^2+1=2x\) ならば、\(x=1\) である、真
対偶は、\(x^2+1 \neq 2x\) ならば、\(x \neq 1\) である、真
解法のPoint｜命題の逆・裏・対偶
p.72 問題 6命題「\(x^2+y^2 \neq 0 \Rightarrow\) \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\)」の対偶は、
「\(x=0\) かつ \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2=0\)」
[証明] \(x=0\) かつ \(y=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&0^2+0^2=0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+y^2=0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x^2+y^2 \neq 0 \Rightarrow\) \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) である [終]
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「\(x=0\) かつ \(y=0\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2=0\)」
[証明] \(x=0\) かつ \(y=0\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&0^2+0^2=0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+y^2=0\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(x^2+y^2 \neq 0 \Rightarrow\) \(x \neq 0\) または \(y \neq 0\) である [終]
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p.72 問題 7[証明]
(ⅰ) \(p~\Rightarrow~q\) について、
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\) より
この２数の和や積も正の数となるので
\(x+y\gt 0\) かつ \(xy\gt 0\)
よって、真となる
(ⅱ) \(q~\Rightarrow~p\) について、
\(xy\gt 0\) より、この２数は同符号となる
また、\(x+y\gt 0\) より、この２数はともに正の数となるので
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)
よって、真となる
したがって、(ⅰ)と(ⅱ)より
\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件である[終]
解法のPoint｜必要条件と十分条件
(ⅰ) \(p~\Rightarrow~q\) について、
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\) より
この２数の和や積も正の数となるので
\(x+y\gt 0\) かつ \(xy\gt 0\)
よって、真となる
(ⅱ) \(q~\Rightarrow~p\) について、
\(xy\gt 0\) より、この２数は同符号となる
また、\(x+y\gt 0\) より、この２数はともに正の数となるので
\(x\gt 0\) かつ \(y\gt 0\)
よって、真となる
したがって、(ⅰ)と(ⅱ)より
\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件である[終]
解法のPoint｜必要条件と十分条件
p.72 問題 8①
図より \({\rm P\subset R}\) となるので、\(p\) は \(r\) の十分条件である
②
図より \({\rm R\subset P}\) となるので、\(r\) は \(p\) の十分条件である
したがって、\(p\) は \(r\) の必要条件でも十分条件でもないとは限らない
解法のPoint｜必要条件と十分条件
図より \({\rm P\subset R}\) となるので、\(p\) は \(r\) の十分条件である
②
図より \({\rm R\subset P}\) となるので、\(r\) は \(p\) の十分条件である
したがって、\(p\) は \(r\) の必要条件でも十分条件でもないとは限らない
解法のPoint｜必要条件と十分条件
練習問題 集合と論理
p.73 練習問題 2\({\small (1)}~3 \lt a{\small ~≦~}5\)
\({\small (2)}~6{\small ~≦~}a \lt 7\)
\({\small (3)}~a{\small ~≧~}8\)
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\({\small (2)}~6{\small ~≦~}a \lt 7\)
\({\small (3)}~a{\small ~≧~}8\)
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p.73 練習問題 3\({\small (1)}~\)必要十分条件である
\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
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\({\small (2)}~\)必要条件でも十分条件でもない
\({\small (3)}~\)十分条件であるが必要条件ではない
\({\small (4)}~\)必要条件であるが十分条件ではない
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p.73 練習問題 4命題「\(a^2+b^2 \gt 50 \Rightarrow\) \(a \gt 5\) または \(b \gt 5\)」の対偶は、
「\(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2{\small ~≦~}50\)」
[証明] \(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) のとき、
\(a~,~b\) は正の数であるので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2{\small ~≦~}25~,~b^2{\small ~≦~}25\end{eqnarray}\)
辺々を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2{\small ~≦~}25+25{\small ~≦~}50\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+b^2{\small ~≦~}50\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(a^2+b^2 \gt 50 \Rightarrow\) \(a \gt 5\) または \(b \gt 5\) である [終]
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「\(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2{\small ~≦~}50\)」
[証明] \(a{\small ~≦~}5\) かつ \(b{\small ~≦~}5\) のとき、
\(a~,~b\) は正の数であるので、両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2{\small ~≦~}25~,~b^2{\small ~≦~}25\end{eqnarray}\)
辺々を加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2{\small ~≦~}25+25{\small ~≦~}50\end{eqnarray}\)
よって、\(a^2+b^2{\small ~≦~}50\) である
これより、対偶が真であるので、もとの命題も真である
したがって、
\(a^2+b^2 \gt 50 \Rightarrow\) \(a \gt 5\) または \(b \gt 5\) である [終]
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p.73 練習問題 5[証明] \(b \neq 0\) と仮定すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~a+b\sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~b\sqrt{2}&=&-a\\[3pt]~~~\sqrt{2}&=&-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\end{eqnarray}\)
\(a~,~b\) は有理数であり、\(-\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\) は有理数となるが、これは \(\sqrt{2}\) が無理数であることに矛盾する
よって、\(b \neq 0\) の仮定は正しくないので、
\(b=0\) が成り立つ
また、\(a+b\sqrt{2}=0\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a+0 \cdot \sqrt{2}&=&0\\[3pt]~~~a&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(a~,~b\) が有理数のとき、
\(a+b\sqrt{2}=0\) ならば \(a=b=0\) [終]
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p.73 練習問題 6[証明] 「\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は無理数でない」と仮定すると、
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}-\sqrt{2}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=&r^2\\[3pt]~~~3-2\sqrt{6}+2&=&r^2\\[3pt]~~~-2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[3pt]~~~\sqrt{6}&=&-\displaystyle \frac{\,r^2-5\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sqrt{6}&=&\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は無理数である [終]
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\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数であるので、有理数 \(r\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}-\sqrt{2}&=&r\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) 乗すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=&r^2\\[3pt]~~~3-2\sqrt{6}+2&=&r^2\\[3pt]~~~-2\sqrt{6}&=&r^2-5\\[3pt]~~~\sqrt{6}&=&-\displaystyle \frac{\,r^2-5\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\sqrt{6}&=&\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(r\) が有理数のとき、\(\displaystyle \frac{\,5-r^2\,}{\,2\,}\) も有理数となるが、これは \(\sqrt{6}\) が無理数であることに矛盾する
したがって、\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は有理数でないので、
\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) は無理数である [終]
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