数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 96
96｜円の接線の長さの定理
96
図のように、\(\angle {\rm A}=90^{\,\circ}~,~{\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) の内接円 \({\rm O}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点をそれぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BC}=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm BP}=\fbox{イ}\) である。
\({\small (3)}~\)内接円の半径は \(\fbox{ウ}\) である。
図のように、\(\angle {\rm A}=90^{\,\circ}~,~{\rm AB}=4~,~{\rm AC}=3\) の直角三角形 \({\rm ABC}\) の内接円 \({\rm O}\) と辺 \({\rm BC}~,~{\rm CA}~,~{\rm AB}\) の接点をそれぞれ \({\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BC}=\fbox{ア}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm BP}=\fbox{イ}\) である。
\({\small (3)}~\)内接円の半径は \(\fbox{ウ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
96 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm BC}=5\)
\({\small (2)}~\)\({\rm BP}=3\)
\({\small (3)}~\)内接円の半径 \(1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)直角三角形 \({\rm ABC}\) で三平方の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BC}&=&\sqrt{\,4^2+3^2\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,16+9\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,25\,}\\[3pt]~~~&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BC}=5\) となる
\({\small (2)}~\)辺 \({\rm AB}~,~{\rm BC}~,~{\rm CA}\) は円の接線より、
\({\rm AR}={\rm AQ}~,~{\rm BR}={\rm BP}~,~{\rm CP}={\rm CQ}\)
ここで、\({\rm BP}=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BR}&=&{\rm BP}=x\\[3pt]~~~{\rm AR}&=&{\rm BA}-{\rm BR}=4-x\\[3pt]~~~{\rm AQ}&=&{\rm AR}=4-x\\[3pt]~~~{\rm CQ}&=&{\rm CA}-{\rm QA}=3-(4-x)=x-1\\[3pt]~~~{\rm CP}&=&{\rm CQ}=x-1\end{eqnarray}\)
これより、\({\rm BP}+{\rm PC}={\rm BC}\) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~x+(x-1)&=&5\\[3pt]~~~2x&=&6\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}=3\) となる
\({\small (3)}~\)この内接円の中心を \({\rm O}\)、半径を \(r\) とすると、
\({\rm OR} \perp {\rm AB}~,~{\rm OQ} \perp {\rm AC}~,~{\rm AR}={\rm AQ}\)
\(\angle {\rm A}=90^\circ\)
これより、四角形 \({\rm AROQ}\) は正方形となるので、
\(r={\rm AR}={\rm AQ}\)
また、\({\rm AR}={\rm AQ}=4-x\) で、\({\small (2)}\) より \(x=3\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~r&=&4-3\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、内接円の半径は \(1\) となる
図形の性質｜問題一覧はこちら→
