数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 99
99｜共通外接線と共通内接線の長さ
99
図のように、半径 \(5\) の円 \({\rm O}\) と半径 \(2\) の円 \({\rm O^{\prime}}\) があり、中心間の距離 \({\rm OO^{\prime}}=9\) とする。直線 \({\rm AB}\) は点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で、直線 \({\rm CD}\) は点 \({\rm C}~,~{\rm D}\) で、それぞれ \(2\) つの円に接している。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm CD}=\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
図のように、半径 \(5\) の円 \({\rm O}\) と半径 \(2\) の円 \({\rm O^{\prime}}\) があり、中心間の距離 \({\rm OO^{\prime}}=9\) とする。直線 \({\rm AB}\) は点 \({\rm A}~,~{\rm B}\) で、直線 \({\rm CD}\) は点 \({\rm C}~,~{\rm D}\) で、それぞれ \(2\) つの円に接している。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=\fbox{ア}\sqrt{\,\fbox{イ}\,}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm CD}=\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
99 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm AB}=6\sqrt{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\)\({\rm CD}=4\sqrt{\,2\,}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)共通外接線の長さは、
半径の差 \(5-2=3\) より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2+3^2&=&9^2\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&81-9\\[3pt]~~~{\rm AB}^2&=&72\end{eqnarray}\)
\({\rm AB}\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}&=&\sqrt{\,72\,}\\[3pt]~~~&=&6\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB}=6\sqrt{\,2\,}\) となる
\({\small (2)}~\)共通内接線の長さは、
半径の和 \(5+2=7\) より、三平方の定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}^2+7^2&=&9^2\\[3pt]~~~{\rm CD}^2&=&81-49\\[3pt]~~~{\rm CD}^2&=&32\end{eqnarray}\)
\({\rm CD}\gt 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm CD}&=&\sqrt{\,32\,}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm CD}=4\sqrt{\,2\,}\) となる
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