数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 93
93｜円周角の定理と同一円周上にある条件
93
図のように、\({\small (1)}\) では円 \({\rm O}\) に四角形 \({\rm ABCD}\) が内接し、\({\small (2)}\) では線分 \({\rm BC}\) が円 \({\rm O}\) の直径である。\({\small (3)}\) では四角形 \({\rm ABCD}\) が与えられている。次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm BAC}=70^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm BDC}=\fbox{アイ}^{\,\circ}\) であり、\(\angle {\rm BOC}=\fbox{ウエオ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm ABC}=25^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm BAC}=\fbox{カキ}^{\,\circ}\) であり、\(\angle {\rm BCA}=\fbox{クケ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^{\,\circ}~,~\)\(\angle {\rm ADB}=30^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm ACB}=\fbox{コサ}^{\,\circ}\) である。
図のように、\({\small (1)}\) では円 \({\rm O}\) に四角形 \({\rm ABCD}\) が内接し、\({\small (2)}\) では線分 \({\rm BC}\) が円 \({\rm O}\) の直径である。\({\small (3)}\) では四角形 \({\rm ABCD}\) が与えられている。次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm BAC}=70^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm BDC}=\fbox{アイ}^{\,\circ}\) であり、\(\angle {\rm BOC}=\fbox{ウエオ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm ABC}=25^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm BAC}=\fbox{カキ}^{\,\circ}\) であり、\(\angle {\rm BCA}=\fbox{クケ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^{\,\circ}~,~\)\(\angle {\rm ADB}=30^{\,\circ}\) のとき、\(\angle {\rm ACB}=\fbox{コサ}^{\,\circ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
93 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm BDC}=70^{\,\circ}~,~\angle {\rm BOC}=140^{\,\circ}\)
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm BAC}=90^{\,\circ}~,~\angle {\rm BCA}=65^{\,\circ}\)
\({\small (3)}~\)\(\angle {\rm ACB}=30^{\,\circ}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
弧 \({\rm BC}\) に対する円周角が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BDC}&=&\angle {\rm BAC}\\[3pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}\)
また、弧 \({\rm BC}\) に対する中心角は、円周角の \(2\) 倍であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BOC}&=&\angle {\rm BAC} {\, \small \times \,} 2\\[3pt]~~~&=&70^\circ{\, \small \times \,}2\\[3pt]~~~&=&140^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm BDC}=70^\circ~,~\angle {\rm BOC}=140^\circ\) となる
\({\small (2)}~\)直径 \({\rm BC}\) に対する円周角より、
\(\angle {\rm BAC}=90^\circ\)
次に、\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BCA}&=&180^\circ-(\angle {\rm BAC}+\angle {\rm ABC})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(90^\circ+25^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-115^\circ\\[3pt]~~~&=&65^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm BAC}=90^\circ~,~\angle {\rm BCA}=65^\circ\) となる
\({\small (3)}~\)
\(\angle {\rm BAC}=\angle {\rm BDC}=40^\circ\) より、円周角の定理の逆が成り立つので、\(4\) 点 \({\rm A~,~B~,~C~,~D}\) は同一円周上にある
よって、弧 \({\rm AB}\) に対する円周角の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ACB}&=&\angle {\rm ADB}\\[3pt]~~~&=&30^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、\(\angle {\rm ACB}=30^\circ\) となる
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