数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 90
90｜三角形の内心と線分の比
90
図のように、\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。
このとき、\({\rm AI}:{\rm ID}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
図のように、\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) の内心を \({\rm I}\) とし、直線 \({\rm AI}\) と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm D}\) とする。
このとき、\({\rm AI}:{\rm ID}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
90 数学IA【解答】
\({\rm AI}:{\rm ID}=2:1\)
【より詳しい解説】
内心 \({\rm I}\) は角の二等分線の交点であるので、
\(\angle {\rm A}\) の内角の二等分線と辺の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}:{\rm DC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
次に、\(\triangle {\rm ABD}\) において、\(\angle {\rm B}\) の内角の二等分線と辺の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AI}:{\rm ID}&=&{\rm AB}:{\rm BD}\\[3pt]~~~&=&6:3\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AI}:{\rm ID}=2:1\) となる
図形の性質｜問題一覧はこちら→
