数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 88
88｜三角形の角の二等分線と比
88
図のように、\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\)、頂点 \({\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長の交点を \({\rm Q}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BP}:{\rm PC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、\({\rm BP}=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm CQ}=\fbox{エオ}\) である。
図のように、\({\rm AB}=6~,~{\rm BC}=5~,~{\rm AC}=4\) の \(\triangle {\rm ABC}\) において、\(\angle {\rm A}\) の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\)、頂点 \({\rm A}\) の外角の二等分線と辺 \({\rm BC}\) の延長の交点を \({\rm Q}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BP}:{\rm PC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、\({\rm BP}=\fbox{ウ}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm CQ}=\fbox{エオ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
88 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm BP}:{\rm PC}=3:2~,~{\rm BP}=3\)
\({\small (2)}~\)\({\rm CQ}=10\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
内角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}:{\rm PC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}{\, \small \times \,}{\rm BC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}5\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
外角の二等分線と比の関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BQ}:{\rm QC}&=&{\rm AB}:{\rm AC}\\[3pt]~~~&=&6:4\\[3pt]~~~&=&3:2\end{eqnarray}\)
ここで、\({\rm CQ}=x\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BQ}&=&{\rm BC}+{\rm CQ}\\[3pt]~~~&=&5+x\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~(5+x):x&=&3:2\\[3pt]~~~3x&=&2(5+x)\\[3pt]~~~3x&=&10+2x\\[3pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm BP}=3~,~{\rm CQ}=10\) となる
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