数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 87
87｜三角形と比の定理と中点連結定理
87
\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm AB}~,~\)\({\rm AC}\) 上の点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AP}:{\rm PB}=2:1\) のとき、
\({\rm AQ}:{\rm QC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、
\({\rm PQ}:{\rm BC}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) であり、\({\rm PQ}=\displaystyle\frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}{\rm BC}\) である。
\(\triangle {\rm ABC}\) について、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm AB}~,~\)\({\rm AC}\) 上の点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}\) について、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~\)\({\rm AP}:{\rm PB}=2:1\) のとき、
\({\rm AQ}:{\rm QC}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) であり、
\({\rm PQ}:{\rm BC}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
\({\small (2)}~\)辺 \({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点 \({\rm P}~,~{\rm Q}\) について、
\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}\) であり、\({\rm PQ}=\displaystyle\frac{\,\fbox{オ}\,}{\,\fbox{カ}\,}{\rm BC}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
87 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm AQ}:{\rm QC}=2:1~,~{\rm PQ}:{\rm BC}=2:3\)
\({\small (2)}~\)\({\rm PQ}=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
三角形と比の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AQ}:{\rm QC}&=&{\rm AP}:{\rm PB}\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
また、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PQ}:{\rm BC}&=&{\rm AP}:{\rm AB}\\[3pt]~~~&=&2:2+1\\[3pt]~~~&=&2:3\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AQ}:{\rm QC}=2:1~,~{\rm PQ}:{\rm BC}=2:3\) となる
\({\small (2)}~\)\({\rm AB}~,~{\rm AC}\) の中点が \({\rm P}~,~{\rm Q}\) のとき、中点連結定理が成り立つ
したがって、\({\rm PQ}\,/\!/\,{\rm BC}~,~{\rm PQ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BC}\) が成り立つ
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