共通テスト数学ⅠA｜図形の性質の基本問題15問【PDF・解説つき】

89 数学IA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\angle {\rm BOC}=140^{\,\circ}~,~\angle {\rm OBC}=20^{\,\circ}\)
\({\small (2)}~\)\(\angle {\rm IBC}=20^{\,\circ}~,~\angle {\rm BIC}=125^{\,\circ}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)

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円周角と中心角の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BOC}&=&2{\, \small \times \,}\angle {\rm BAC}\\[3pt]~~~&=&2{\, \small \times \,}70^\circ\\[3pt]~~~&=&140^\circ\end{eqnarray}\)

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また、\({\rm OB}~,~{\rm OC}\) はこの外接円の半径より、

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　\({\rm OB}={\rm OC}\)

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よって、\(\triangle {\rm OBC}\) は \({\rm OB}={\rm OC}\) の二等辺三角形となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm OBC}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-\angle {\rm BOC}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-140^\circ\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,40^\circ\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~&=&20^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\angle {\rm BOC}=140^\circ~,~\angle {\rm OBC}=20^\circ\) となる

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\({\small (2)}~\)

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内心 \({\rm I}\) は角の二等分線の交点より、

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　\(\angle {\rm ACI}=\angle {\rm BCI}=35^\circ\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ACB}&=&35^\circ+35^\circ\\[3pt]~~~&=&70^\circ\end{eqnarray}\)

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次に、三角形の内角の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm ABC}&=&180^\circ-(70^\circ+70^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-140^\circ\\[3pt]~~~&=&40^\circ\end{eqnarray}\)

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また、\({\rm BI}\) は \(\angle {\rm B}\) の二等分線より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm IBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\angle {\rm ABC}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}40^\circ\\[5pt]~~~&=&20^\circ\end{eqnarray}\)

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これより、\(\triangle {\rm IBC}\) の内角の和より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle {\rm BIC}&=&180^\circ-(\angle {\rm IBC}+\angle {\rm ICB})\\[3pt]~~~&=&180^\circ-(20^\circ+35^\circ)\\[3pt]~~~&=&180^\circ-55^\circ\\[3pt]~~~&=&125^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\angle {\rm IBC}=20^\circ~,~\angle {\rm BIC}=125^\circ\) となる