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91｜三角形の重心と面積比
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図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、次の面積の比を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、次の面積の比を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
91 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}=2:1\)
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=3:1\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) は、中線 \({\rm AM}\) 上にあり、中線 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分する
\({\rm AG}:{\rm GM}=2:1\)
\(\triangle {\rm BAG}\) と \(\triangle {\rm BGM}\) について、\({\rm AG}\) と \({\rm GM}\) を底辺としたとき、高さが等しいので、面積の比は底辺の比となる
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}&=&{\rm AG}:{\rm GM}\\[3pt]~~~&=&2:1\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm GBC}\) について、\({\rm BC}\) を底辺とすると、高さの比は \({\rm AM}:{\rm GM}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AM}:{\rm GM}&=&2+1:1\\[3pt]~~~&=&3:1\end{eqnarray}\)
底辺が等しいので、面積の比は高さの比となる
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=3:1\)
したがって、
\(\triangle {\rm BAG}:\triangle {\rm BGM}=2:1~,~\)
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm GBC}=3:1\) となる
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