共通テスト数学ⅠA｜図形の性質の基本問題15問【PDF・解説つき】

2026.09.30

97｜方べきの定理と線分の長さ

図のように、\({\small (1)}\) では \(2\) つの弦 \({\rm AB}~,~{\rm CD}\) が円の内部の点 \({\rm P}\) で交わり、\({\small (2)}\) ではその延長が円の外部の点 \({\rm P}\) で交わっている。\({\small (3)}\) では、点 \({\rm P}\) から引いた接線の接点が \({\rm T}\)、\({\rm P}\) を通る直線と円の交点が \({\rm A}~,~{\rm B}\) である。次の問いに答えよ。

\({\small (1)}~\)\({\rm AP}=3~,~\)\({\rm CP}=6~,~\)\({\rm DP}=4\) のとき、\({\rm BP}=\fbox{ア}\)

\({\small (2)}~\)\({\rm AB}=4~,~\)\({\rm AP}=2~,~\)\({\rm CP}=3\) のとき、\({\rm CD}=\fbox{イ}\)

\({\small (3)}~\)\({\rm AB}=3~,~\)\({\rm AP}=4\) のとき、\({\rm PT}=\fbox{ウ}\sqrt{\,\fbox{エ}\,}\)

共通テスト数学ⅠA｜図形の性質

97 数学IA【解答】

\({\small (1)}~\)\({\rm BP}=8\)
\({\small (2)}~\)\({\rm CD}=1\)
\({\small (3)}~\)\({\rm PT}=2\sqrt{\,7\,}\)

【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)

方べきの定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PC} \cdot {\rm PD}\\[3pt]~~~3 \cdot {\rm PB}&=&6 \cdot 4\\[5pt]~~~{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,6 \cdot 4\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~{\rm BP}&=&8\end{eqnarray}\)

したがって、\({\rm BP}=8\) となる

\({\small (2)}~\)

\({\rm CD}=x\) とし、方べきの定理より、

\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA} \cdot {\rm PB}&=&{\rm PC} \cdot {\rm PD}\\[3pt]~~~2 \cdot (2+4)&=&3 \cdot (3+x)\\[3pt]~~~12&=&9+3x\\[3pt]~~~-3x&=&9-12\\[3pt]~~~-3x&=&-3\\[3pt]~~~x&=&1\end{eqnarray}\)

したがって、\({\rm CD}=1\) となる

\({\small (3)}~\)