数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 100
100｜空間図形の直線・平面の位置関係となす角
100
立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) について、次の問いに答えよ。ただし、\(2\) 直線や \(2\) 平面のなす角 \(\theta\) は \(0^{\,\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}90^{\,\circ}\) とする。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm AB}\) と平行な辺は \(\fbox{ア}\) 本あり、辺 \({\rm AB}\) とねじれの位置にある辺は \(\fbox{イ}\) 本ある。
\({\small (2)}~\)\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm CG}\) のなす角は \(\fbox{ウエ}^{\,\circ}\) であり、\(2\) 直線 \({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のなす角は \(\fbox{オカ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 平面 \({\rm ABCD}\) と \({\rm ABGH}\) のなす角は \(\fbox{キク}^{\,\circ}\) である。
立方体 \({\rm ABCD}\)-\({\rm EFGH}\) について、次の問いに答えよ。ただし、\(2\) 直線や \(2\) 平面のなす角 \(\theta\) は \(0^{\,\circ}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}90^{\,\circ}\) とする。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm AB}\) と平行な辺は \(\fbox{ア}\) 本あり、辺 \({\rm AB}\) とねじれの位置にある辺は \(\fbox{イ}\) 本ある。
\({\small (2)}~\)\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm CG}\) のなす角は \(\fbox{ウエ}^{\,\circ}\) であり、\(2\) 直線 \({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のなす角は \(\fbox{オカ}^{\,\circ}\) である。
\({\small (3)}~\)\(2\) 平面 \({\rm ABCD}\) と \({\rm ABGH}\) のなす角は \(\fbox{キク}^{\,\circ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
100 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)平行な辺 \(3\) 本、ねじれの位置にある辺 \(4\) 本
\({\small (2)}~\)\({\rm AB}\) と \({\rm CG}\)：\(90^{\,\circ}\)、\({\rm AC}\) と \({\rm DG}\)：\(60^{\,\circ}\)
\({\small (3)}~\)\(45^{\,\circ}\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
辺 \({\rm AB}\) と平行な辺は、辺 \({\rm AB}\) を平行移動して重なる辺より、
辺 \({\rm DC}\)、辺 \({\rm EF}\)、辺 \({\rm HG}\) の \(3\) 本
また、辺 \({\rm AB}\) と交わる辺は、
辺 \({\rm AD}\)、辺 \({\rm BC}\)、辺 \({\rm AE}\)、辺 \({\rm BF}\)
これより、辺 \({\rm AB}\) とねじれの位置にある辺は、平行でなく、交わらない辺より、
辺 \({\rm DH}\)、辺 \({\rm CG}\)、辺 \({\rm EH}\)、辺 \({\rm FG}\) の \(4\) 本
したがって、平行な辺は \(3\) 本、ねじれの位置にある辺は \(4\) 本となる
\({\small (2)}~\)\(2\) 直線 \({\rm AB}\) と \({\rm CG}\) のなす角は、\({\rm CG}\) を平行移動すると \({\rm BF}\) と重なるので、
\(\angle {\rm ABF}=90^\circ\)
これより、\({\rm AB}\) と \({\rm CG}\) のなす角は \(90^\circ\) となる
また、\(2\) 直線 \({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のなす角は、\({\rm DG}\) を平行移動すると \({\rm AF}\) と重なる
ここで、\({\rm AC}~,~{\rm CF}~,~{\rm FA}\) はすべて合同な正方形の対角線なので、\(\triangle {\rm AFC}\) は正三角形となる
\(\angle {\rm CAF}=60^\circ\)
これより、\({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のなす角は \(60^\circ\) となる
したがって、\({\rm AB}\) と \({\rm CG}\) のなす角は \(90^\circ\)、\({\rm AC}\) と \({\rm DG}\) のなす角は \(60^\circ\) となる
\({\small (3)}~\)\(2\) 平面 \({\rm ABCD}\) と \({\rm ABGH}\) の交線は \({\rm AB}\)
\({\rm BC}\perp {\rm AB}~,~{\rm BG}\perp {\rm AB}\) より、\(2\) 平面のなす角は、辺 \({\rm BC}\) と線分 \({\rm BG}\) のなす角 \(\angle {\rm CBG}\) となる
また、\(\triangle {\rm BCG}\) は \({\rm BC}={\rm CG}~,~\angle {\rm BCG}=90^\circ\) の直角二等辺三角形より、
\(\angle {\rm CBG}=45^\circ\)
したがって、\(2\) 平面 \({\rm ABCD}\) と \({\rm ABGH}\) のなす角は \(45^\circ\) となる
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