数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 98
98｜2つの円の位置と共通接線
98
半径 \(5\) の円 \({\rm O}\) と半径 \(2\) の円 \({\rm O}^{\prime}\) の中心間の距離を \(d\) とする。次の各場合について、\(2\) つの円の位置関係を下の \(⓪\)〜\(④\) のうちから選べ。また、共通接線の本数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(d=4\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) であり、共通接線は \(\fbox{イ}\) 本である。
\({\small (2)}~\)\(d=9\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) であり、共通接線は \(\fbox{エ}\) 本である。
\({\small (3)}~\)\(d=2\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) であり、共通接線は \(\fbox{カ}\) 本である。
\({\small (4)}~\)\(d=7\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) であり、共通接線は \(\fbox{ク}\) 本である。
\({\small (5)}~\)\(d=3\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) であり、共通接線は \(\fbox{コ}\) 本である。
選択肢：\(⓪\) 互いに外部にある \(①\) 外接する
\(②\) \(2\) 点で交わる \(③\) 内接する
\(④\) 一方が他方の内部にある
半径 \(5\) の円 \({\rm O}\) と半径 \(2\) の円 \({\rm O}^{\prime}\) の中心間の距離を \(d\) とする。次の各場合について、\(2\) つの円の位置関係を下の \(⓪\)〜\(④\) のうちから選べ。また、共通接線の本数を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(d=4\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ア}\) であり、共通接線は \(\fbox{イ}\) 本である。
\({\small (2)}~\)\(d=9\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ウ}\) であり、共通接線は \(\fbox{エ}\) 本である。
\({\small (3)}~\)\(d=2\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{オ}\) であり、共通接線は \(\fbox{カ}\) 本である。
\({\small (4)}~\)\(d=7\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{キ}\) であり、共通接線は \(\fbox{ク}\) 本である。
\({\small (5)}~\)\(d=3\) のとき、位置関係は \(\bbox[2pt, border: 3px double #333]{ケ}\) であり、共通接線は \(\fbox{コ}\) 本である。
選択肢：\(⓪\) 互いに外部にある \(①\) 外接する
\(②\) \(2\) 点で交わる \(③\) 内接する
\(④\) 一方が他方の内部にある
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
98 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\(2\) 点で交わる②、共通接線 \(2\) 本
\({\small (2)}~\)互いに外部にある⓪、共通接線 \(4\) 本
\({\small (3)}~\)一方が他方の内部にある④、共通接線 \(0\) 本
\({\small (4)}~\)外接する①、共通接線 \(3\) 本
\({\small (5)}~\)内接する③、共通接線 \(1\) 本
【より詳しい解説】
円 \({\rm O}\) の半径を \(r\)、円 \({\rm O}^{\prime}\) の半径を \(r^{\prime}\) とすると、\(2\) つの円の位置関係は、半径の和 \(r+r^{\prime}\) と差 \(r-r^{\prime}\) と、中心間の距離 \(d\) の大小で決まる
ここで、\(r=5~,~r^{\prime}=2\) より、
\(r+r^{\prime}=5+2=7\)
\(r-r^{\prime}=5-2=3\)
\({\small (1)}~\)
\(d=4\) で、\(3\lt 4\lt 7\) より、
\(r-r^{\prime}\lt d\lt r+r^{\prime}\)
よって、\(2\) つの円は \(2\) 点で交わり、共通接線は \(2\) 本
したがって、位置関係は \(②\)、共通接線は \(2\) 本となる
\({\small (2)}~\)
\(d=9\) で、\(9\gt 7\) より、
\(d\gt r+r^{\prime}\)
よって、\(2\) つの円は互いに外部にあり、共通接線は \(4\) 本
したがって、位置関係は \(⓪\)、共通接線は \(4\) 本となる
\({\small (3)}~\)
\(d=2\) で、\(2\lt 3\) より、
\(d\lt r-r^{\prime}\)
よって、円 \({\rm O}^{\prime}\) は円 \({\rm O}\) の内部にあり、共通接線はない
したがって、位置関係は \(④\)、共通接線は \(0\) 本となる
\({\small (4)}~\)
\(d=7\) で、\(7=5+2\) より、
\(d=r+r^{\prime}\)
よって、\(2\) つの円は \(1\) 点で接し（外接し）、共通接線は \(3\) 本
したがって、位置関係は \(①\)、共通接線は \(3\) 本となる
\({\small (5)}~\)
\(d=3\) で、\(3=5-2\) より、
\(d=r-r^{\prime}\)
よって、\(2\) つの円は \(1\) 点で接し（内接し）、共通接線は \(1\) 本
したがって、位置関係は \(③\)、共通接線は \(1\) 本となる
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