数学A｜図形の性質｜問題一覧 ＞ 問題解説 92
92｜チェバ・メネラウスの定理と面積比
92
図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\)、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) とし、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\)、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AR}:{\rm RB}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm AO}:{\rm OP}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)面積の比は \(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\) である。
図のように、\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm P}\)、辺 \({\rm AC}\) の中点を \({\rm Q}\) とし、線分 \({\rm AP}\) と線分 \({\rm BQ}\) の交点を \({\rm O}\)、直線 \({\rm CO}\) と辺 \({\rm AB}\) の交点を \({\rm R}\) とする。このとき、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm AR}:{\rm RB}=\fbox{ア}:\fbox{イ}\) である。
\({\small (2)}~\)\({\rm AO}:{\rm OP}=\fbox{ウ}:\fbox{エ}\) である。
\({\small (3)}~\)面積の比は \(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=\fbox{オ}:\fbox{カ}\) である。
共通テスト数学ⅠA｜図形の性質
92 数学IA【解答】
\({\small (1)}~\)\({\rm AR}:{\rm RB}=3:2\)
\({\small (2)}~\)\({\rm AO}:{\rm OP}=5:2\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=7:2\)
【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)
\(\triangle {\rm ABC}\) についてのチェバの定理より、
\({\rm A} \to {\rm R} \to {\rm B} \to {\rm P} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\)
内分点 \({\rm P}~,~\)\({\rm Q}~,~\)\({\rm R}\) を通って一周することより、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm BP}\,}{\,{\rm PC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm BP}:{\rm PC}=2:3\) 、\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AR}\,}{\,{\rm RB}\,}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AR}:{\rm RB}=3:2\) となる
\({\small (2)}~\)\({\rm AO}:{\rm OP}\) について、\(\triangle {\rm APC}\) と直線 \({\rm BQ}\) に着目する
\({\rm A} \to {\rm O} \to {\rm P} \to {\rm B} \to {\rm C} \to {\rm Q} \to {\rm A}\) と一周するメネラウスの定理より、
\(\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm PB}\,}{\,{\rm BC}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,{\rm CQ}\,}{\,{\rm QA}\,}=1\)
\({\rm PB}:{\rm BC}=2:(2+3)=2:5\) 、\({\rm CQ}:{\rm QA}=1:1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,} \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{\rm AO}\,}{\,{\rm OP}\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AO}:{\rm OP}=5:2\) となる
\({\small (3)}~\)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) の面積比について、\({\rm AO}:{\rm OP}=5:2\) より、
\({\rm AP}:{\rm OP}=(5+2):2=7:2\)
\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm OBC}\) は、ともに底辺を \({\rm BC}\) とみると高さの比は \({\rm AP}:{\rm OP}\) に等しい
よって、面積比も高さの比に等しくなり、
\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=7:2\)
したがって、\(\triangle {\rm ABC}:\triangle {\rm OBC}=7:2\) となる
図形の性質｜問題一覧はこちら→
