共通テスト数学ⅠA｜図形と計量（三角比）の基本問題15問【PDF・解説つき】

46 数学ⅠA【解答】

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\({\small (1)}~\)\(\cos {A}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\)

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\({\small (2)}~\)\(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,7\,}\)

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\({\small (3)}~\)\(S=6\sqrt{\,6\,}\)

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\({\small (4)}~\)\(r=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\)

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【より詳しい解説】
\({\small (1)}~\)

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\(\triangle {\rm ABC}\) の \(\angle {\rm A}\) についての余弦定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~a^2&=&b^2+c^2-2bc\cos {A}
\\[3pt]~~~5^2&=&6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos {A}
\\[3pt]~~~84\cos {A}&=&36+49-25
\\[3pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,60\,}{\,84\,}
\\[5pt]~~~\cos {A}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small (2)}~\)相互関係の公式 \(\sin^2 {A}+\cos^2 {A}=1\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin^2 {A}&=&1-\cos^2 {A}
\\[5pt]~~~&=&1-\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1-\displaystyle \frac{\,25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,49-25\,}{\,49\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\end{eqnarray}\)

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\(0^\circ \lt {A} \lt 180^\circ\) より、\(\sin {A} \gt 0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sin {A}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,24\,}{\,49\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の面積 \(S\) は、2辺 \(b=6~,~c=7\) とその間の角 \({A}\) の \(\sin {A}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,7\,}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~S&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot b \cdot c \cdot \sin {A}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&6\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)

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\({\small (4)}~\)内接円の半径 \(r\) と周の長さと面積の公式より、

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　\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}r(a+b+c)\)

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これより、\(S=6\sqrt{\,6\,}~,~\)\(a=5~,~\)\(b=6~,~\)\(c=7\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~6\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot (5+6+7)
\\[5pt]~~~6\sqrt{\,6\,}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \cdot r \cdot 18
\\[5pt]~~~6\sqrt{\,6\,}&=&9r
\\[3pt]~~~9r&=&6\sqrt{\,6\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,6\sqrt{\,6\,}\,}{\,9\,}
\\[5pt]~~~r&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、\(r=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{\,6\,}\,}{\,3\,}\) となる